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Monto a interés compuesto cuando la tasa de interés varía

En el ejemplo anterior, suponíamos que la tasa de interés se mantenía constante a lo largo de todo el período de la operación. En la práctica, esta situación es muy difícil que ocurra; lo usual es que la tasa de interés se modifique. En ese caso, deberemos utilizar distintas tasas para cada período, i₁, i₂... i_n, y el monto resultante surgirá de la siguiente ecuación:

C_n = C₀ (1 + i₁) (1 + i₂) ... (1 + i_n)

Ejemplo: David realizó un depósito a plazo por 100 mil € en una institución financiera y durante el primer mes ganó el 2 % mensual; el monto de ese dinero lo invirtió en una cartera de inversión que le redituó un 3 % en el segundo mes, y, finalmente, obtuvo un 5 % en el tercer mes invirtiendo el dinero en otro depósito a plazo. El monto final al cabo de los tres meses puede calcularse como:

100 (1 + 0,02) (1 + 0,03) (1 + 0,05) = 110,3

Como puede apreciar, en el régimen compuesto, los factores de capitalización (1+i) se multiplican. La operación puede apreciarse mejor con un diagrama del flujo de caja:

Figura 3.3 Evolución del monto cuando las tasas de interés varían.

Excel 2010 incluye una función «VF.PLAN», que permite calcular el monto cuando las tasas de interés varían; simplemente, deben ubicarse las tasas de interés en forma de columna:

Figura 3.4 Función del monto cuando las tasas de interés varían.

Fórmulas derivadas del monto a interés compuesto

Con simples pasajes de términos, podemos despejar de la fórmula [3.1] el capital inicial, la tasa de interés, el número de períodos y el interés acumulado. Al pasar el capital inicial dividiendo al monto, tenemos:

Observe que el cociente entre el monto y el capital inicial es igual al factor de capitalización. Por lo que podemos obtener la tasa de interés sacando raíz enésima del cociente y restando el 1 (uno), y el número de períodos aplicando logaritmo en ambos miembros.

La tasa de interés también puede calcularse con la siguiente fórmula, que resulta más cómoda de obtener con calculadora. Como veremos inmediatamente en un ejemplo, esta fórmula es muy utilizada en el mercado financiero, para calcular el rendimiento promedio que se obtuvo en un período, y que constituye una media geométrica.

Otra forma es obtenerla por antilogaritmo:

La utilización de la primera expresión suele ser más práctica, al trabajar con calculadoras de bolsillo que incluyan la función de potencia.

Intereses acumulados

Si quisiéramos calcular los intereses acumulados entre el momento 0 y el momento n, simplemente podríamos hacerlo por diferencia entre el monto y el capital inicial:

I(0,n) = C_n − C_n

Como C_n = C₀(1 + i)ⁿ I(0,n) = C₀(1 + i)ⁿ − C₀

I(0,n) = C₀ [(1 + i)ⁿ − 1]

Aplicaciones del interés compuesto en la vida real

A continuación, veremos algunos ejemplos de aplicación de las fórmulas del interés compuesto a situaciones de la vida real.

Rendimientos de las bolsas en Latinoamérica y EE. UU.

La tabla 3.3 contiene los valores de los índices de bolsa de varios países latinoamericanos y de EE. UU. Las últimas dos filas calculan el rendimiento anual medido como una tasa de rendimiento compuesta (geométrica) para los últimos veinte años y para los últimos diez años, respectivamente. En todos los casos, los valores de los índices fueron expresados en dólares tomando la cotización del 30 de diciembre de cada año. Para calcular el rendimiento anual adaptamos la fórmula [3.2], donde ahora Cn = valor del índice en diciembre de 2012 y Co = Valor del índice al comienzo. Si bien n = cantidad de años, para reflejar un cálculo que compute todos los días del año, se utilizó como exponente (365/cantidad de días del período). Por ejemplo, para el cálculo del rendimiento de la Bolsa de Valores de Colombia entre diciembre de 2012 y diciembre de 2003:

Tabla 3.3 Rendimientos anuales en dólares, Latinoamérica y EE. UU.

Tanto en Venezuela como en Argentina existe una brecha de cambio entre el dólar oficial y el paralelo, que modificarían los valores obtenidos. Elaborado en base a datos de Economatica.

Como puede apreciarse, la media geométrica varía mucho depende del período que se tome para calcularla.

El interés compuesto y las medias geométricas

Hay varios fenómenos de la vida real que involucran una «composición de magnitudes». A continuación veremos algunos ejemplos.

En el Capítulo 1, comentamos la leyenda sobre la vida de Hetty Green (1834-1916), también conocida como «la bruja de Wall Street». Cuenta la historia que Hetty Green recibió como herencia de su padre un millón de dólares y centuplicó su valor al cabo de 50 años. La filosofía que Green utilizaba para tomar sus decisiones puede ser resumida en sus propias palabras:

Yo no creo mucho en las acciones. Nunca compro acciones de empresas industriales. La construcción de inmuebles y caminos son las cosas que me gustan. Antes de decidir una inversión procuro toda la información posible acerca del negocio. No hay secretos para hacer una fortuna. Todo lo que usted debe hacer es comprar barato y luego vender más caro, actuar racionalmente y ser persistente.

Aunque no se sabe con certeza cuál fue el monto de la riqueza que acumuló a la fecha de su fallecimiento, se dice que su millón heredado se convirtió en casi 100 millones 51 años después. Debemos percatarnos de que esto puede alcanzarse con una tasa ligeramente superior al 9,5 % anual a interés compuesto, como puede verse en la figura 3.5.² Los beneficios del interés compuesto requieren un horizonte de largo plazo. El punto clave es que el valor de un capital fijo se incrementa con el paso del tiempo.³

Figura 3.5 Evolución de 1 millón al 9,6 % anual compuesto.

Hetty Green probó que las mujeres no son «financieramente» inferiores al hombre. Según cuenta la leyenda, batalló con los mejores hombres financieros y ganó varias veces. Hoy vivimos un tiempo en el que las oportunidades para la mujer en finanzas son mayores que antaño.

a. La tasa de crecimiento de la población

La tabla 3.4 muestra el crecimiento de la población en los países latinoamericanos entre 1980 y 2010.

Si la población de América Latina pasó de tener 353,1 millones de habitantes en 1980 a 575,8 millones en 2010, ¿a qué tasa anual promedio creció la población?

Para calcularlo, establecemos la tasa promedio geométrica con la fórmula [3.2], considerando como capital final la población de 2010 y como capital original la población de 1980.

Se deja como ejercicio para el lector, la comprobación de las tasas de crecimiento anual promedio para los distintos países latinoamericanos.

Tabla 3.4 Población en América Latina, en miles a mitad de año

	1980	2010	Crec. promedio
Argentina	28.094	40.738	1,25 %
Bolivia (Estado Plurinacional de)	5.355	10.031	2,11 %
Brasil	121.618	195.498	1,59 %
Chile	11.174	17.133	1,43 %
Colombia	26.881	46.299	1,83 %
Costa Rica	2.347	4.639	2,30 %
Cuba	9.823	11.203	0,44 %
Ecuador	7.961	13.773	1,84 %
El Salvador	4.660	6.192	0,95 %
Guatemala	7.014	14.376	2,42 %
Haití	5.691	10.089	1,93 %
Honduras	3.634	7.621	2,50 %
México	69.321	110.675	1,57 %
Nicaragua	3.250	5.822	1,96 %
Panamá	1.949	3.508	1,98 %
Paraguay	3.198	6.460	2,37 %
Perú	17.324	29.495	1,79 %
República Dominicana	5.808	9.899	1,79 %
Uruguay	2.914	3.372	0,49 %
Venezuela (República Bolivariana de)	15.091	29.043	2,21 %
América Latina	353.109	575.867	1,64 %

Fuente: Naciones Unidas, CEPAL

b. La tasa de crecimiento del PIB (producto interior bruto)

La tabla 3.5 muestra el crecimiento del PIB para países latinoamericanos entre los años 1960 y 2011. Los datos se obtuvieron de la página del Banco Mundial y se expresan en dólares de Estados Unidos a precios constantes del año 2000.⁴

Nuevamente, utilizando la fórmula [3.2] el lector puede comprobar las tasas de crecimiento promedio anual.

Tabla 3.5 Evolución del PIB en América Latina

	1960	2011	Tasa crec. Prom 1960-2011
Argentina	108.322.326.649	472.935.362.924	2,9 %
Bolivia	3.001.815.692	12.873.723.283	2,9 %
Brasil	105.343.379.555	944.612.348.874	4,4 %
Chile	14.087.170.195	123.009.763.769	4,3 %
Colombia	19.017.657.851	157.790.843.538	4,2 %
Costa Rica	2.398.494.445	25.371.308.708	4,7 %
República Dominicana	3.019.307.866	41.998.074.956	5,3 %
Ecuador	3.641.530.019	26.941.668.927	4,0 %
El Salvador	4.017.741.905	16.061.419.231	2,8 %
Guatemala	3.989.089.865	27.838.549.513	3,9 %
Honduras	1.502.038.539	10.965.689.540	4,0 %
México	94.354.817.785	721.849.598.501	4,1 %
Nicaragua	2.103.502.588	7.169.985.605	2,4 %
Panamá	1.930.103.379	23.764.075.282	5,0 %
Paraguay	1.263.290.494	10.887.487.376	4,3 %
Perú	16.356.280.982	98.769.196.817	3,6 %
Uruguay	10.614.613.898	32.274.699.322	2,2 %
Venezuela	41.118.729.573	166.062.245.436	2,8 %

Fuente: Banco Mundial

c. La pauta de inflación contenida en el presupuesto nacional

En el presupuesto nacional, suele incluirse una pauta de inflación anual que constituye una especie de meta predefinida a alcanzar, que es superada por la realidad en la mayoría de las ocasiones. Por ejemplo, suponga que se establece una pauta de inflación del 12% para todo el año, mientras que la inflación acumulada hasta abril es del 8%. ¿Cuál debería ser la inflación mensual de mayo a diciembre para poder cumplir con la mencionada pauta? Simplemente, planteamos la ecuación correspondiente donde 1,08 representa el capital inicial de la operación, que colocado a una inflación mensual durante 8 meses alcanza un monto de 1,12 y despejamos la tasa de inflación mensual:

No distinguimos aquí si los meses tienen más o menos de 30 días, pues los institutos de estadística suelen difundir la tasa de inflación mensual para cada mes calendario, independientemente de cuantos días tenga éste.

Tiempo necesario para que un capital se convierta en múltiplo de sí mismo

Si queremos saber cuál es el número de períodos que necesita un capital para convertirse en múltiplo de sí mismo (duplicarse, triplicarse, cuadruplicarse, etc.) simplemente igualamos la fórmula del monto a interés compuesto, pero expresando el monto como un múltiplo del capital inicial (M × Co) donde M es un múltiplo que podría ser igual a dos, tres, cuatro veces y media, etc.

MC₀ = C₀ (1 + i)ⁿ

Despejando M tenemos M = (1 + i)ⁿ

Finalmente, aplicando logaritmos en ambos miembros:

Ejemplo: calcular cuántos meses demoraría un capital de 10.000 € en duplicarse, si la tasa de interés es del 1 % mensual.

p69,66 meses. Significa que el capital tarda en duplicarse 69 meses y 20 días, aproximadamente.

Tiempo en que dos capitales, colocados a diferente tasa, alcanzan igual monto

En noviembre de 1987, la entidad financiera S&B tuvo problemas para devolver los depósitos a los ahorristas. Muchos de los créditos otorgados no se cobraron, lo que generó importantes pérdidas, y cuando el problema se hizo público, los depositantes acudieron en masa a retirar sus ahorros, pero S&B se negó a reintegrar el dinero, argumentando que era imposible devolverle a todos sus depósitos de una sola vez. A cambio, pidió un tiempo para que, con el dinero que constituía el «capital de trabajo» de la compañía y que se prestaba a una tasa de interés más alta (tasa activa) que la que se pagaba por los depósitos (tasa pasiva), ese capital igualara en el futuro el monto que tendrían los depósitos que ganarían una tasa de interés menor. El argumento esgrimido fue que los ahorristas deberían esperar un tiempo para que el capital más pequeño igualara al capital mayor, ya que devengaban tasas diferentes. Suponga que la tasa de interés para los depósitos era del 1 % mensual y que por los préstamos se cobraba el 3 % mensual. Los depósitos totales ascendían a 3.000.000 $. Mientras que el «capital de trabajo» de S&B solo alcanzaba a 500.000 $. ¿En qué tiempo ambos capitales igualarían su valor en el futuro? Para calcularlo, igualamos las fórmulas para los montos de ambos capitales con distintas tasas de interés, quedando por despejar la incógnita n:

Podemos comprobarlo haciendo 3.000.000 (1,01)^91,3768 = 500.000 (1,03)^91,3768 = 7.447.226,8

En la figura 3.6, se observa cómo los dos capitales igualan su valor en el período 91,37.

Figura 3.6 Tiempo en que dos capitales distintos alcanzan igual monto.

Análisis de las funciones monto e interés acumulado

En la función del monto a interés compuesto, el valor de n resulta ser un valor discreto, lo que le da a la función una forma escalonada en la práctica. Como se observa en la figura 3.7, cuando depositamos un capital de 1 € en un banco al 10 % anual, el reflejo de la variación de la suma de dinero solo tiene lugar al final del primer año, cuando se transforma en 1,10 €; a lo largo del segundo año, la suma de dinero permanecerá con un valor de 1,10 € hasta que al final del segundo año, siempre desde el punto de vista contable, se transformará en 1,21 € y así sucesivamente. Sin embargo, es posible calcular matemáticamente el valor que tendría la función monto en cualquier momento del tiempo, inclusive hasta en un instante, en cuyo caso hablamos de capitalización continua, que tiene la forma e^d. La capitalización continua será estudiada con detalle en el próximo capítulo, por lo tanto, no profundizaremos aquí sobre este tema.

Figura 3.7 Capitalización continua y discreta.

Comparación entre el monto simple y el monto compuesto

A continuación, realizaremos una comparación entre ambos regímenes en sus aspectos más relevantes, fundamentalmente el rendimiento efectivo.

De la tabla 3.6 se observa que:

• En el régimen simple, el interés periódico se mantiene constante, mientras que en el régimen compuesto es creciente.

• El rendimiento efectivo es decreciente en el régimen simple, mientas que se mantiene constante en el régimen compuesto.

Si bien la tasa de interés periódica siempre era la misma, (10 %), en el régimen simple el interés periódico de 10 € representa un porcentaje menor de rendimiento conforme este se compara contra un monto que aumenta período a período.

En cambio, en el régimen compuesto, con la incorporación de los intereses al capital en cada período de capitalización, los intereses periódicos son crecientes, pues siempre se calculan sobre el monto acumulado al final del período anterior, aunque el rendimiento efectivo se mantiene constante.

Figura 3.8 Comparación monto simple y compuesto.

De la figura 3.8 se observa que:

1. Cuando el número de períodos es mayor que 1, el monto a interés compuesto es mayor que el monto a interés simple, debido a la capitalización de los intereses.

2. Ambas funciones igualan su valor cuando el número de períodos es igual a uno (recuerde que para que exista interés compuesto debe haber más de un período).

3. Desde el punto de vista de la función matemática, cuando el número de períodos se encuentra entre 0 y 1, la función del monto simple es mayor (1,05) a la del monto compuesto (1,0488). Esto es irrelevante desde el punto de vista financiero, pues el dinero lo depositamos por un período y retiramos 1,10 al final de este sin preocuparnos por lo que ocurre en el interior del período de capitalización.

Desde el punto de vista matemático, la función lo que hace es mostrar la evolución del monto con respecto al número de períodos; mientras en el régimen simple no hay capitalización y en el compuesto sí, con 1,048 € capitalizados por medio período más también se alcanza un monto de 1,10 € al final del período. Como la función del monto compuesto es exponencial, al ser continua podemos calcular el monto por fracciones de tiempo, lo cual nos introduce en el concepto del monto fraccionario

Monto fraccionario

La fórmula tradicional del monto supone que el tiempo (n) es entero, pero es posible analizar el caso del tiempo fraccionario. Suponiendo que colocamos 1 € a una tasa anual del 10 % durante 1,5 años, el monto sería:

(1 + i)^n+f = (1 + 0,10) (1 + 0,10)^0,5 = 1,1536

O si quisiéramos saber cuál es el monto en el período 0,5 (al cabo de medio año):

(1 + i)^f = (1 + 0,10)^0,5 = 1,0488

En la figura 3.6, se observa en la línea continua el valor que tendría el monto si el período no llegara a completarse, es decir, cuál sería el monto después de 0,5 períodos. En la ordenada hay un valor que se corresponde con la fracción de 0,5 y con la función exponencial. Podemos buscar el valor del monto para cualquier período fraccionario, y si bien estos valores no corresponderán al final de un período de capitalización, nos sirve para calcular el interés «devengado» en un momento determinado cuando hay capitalización compuesta.⁵

La tasa proporcional y equivalente en los regímenes simple y compuesto

Veremos ahora que, en el régimen simple, las tasas son proporcionales y a la vez equivalentes, mientras que en el régimen compuesto, son solamente equivalentes. Cuando las condiciones del contrato establecen una tasa nominal con capitalización subperiódica, para obtener la tasa proporcional hacemos:

Sea, por ejemplo, el 12 % nominal anual con capitalización semestral:

Efectivamente, el 6 % semestral es la tasa proporcional del 12 % anual, y a su vez es también una tasa equivalente en el régimen simple, pues en este régimen 6 % en el semestre es igual que el 12 % en el año, ya que las tasas se suman (no hay capitalización de intereses).

Sin embargo, en el régimen compuesto, el 6 % semestral no es equivalente al 12 % anual, ya que si obtenemos el 6 % en un semestre, y renovamos la operación por otro semestre hasta alcanzar un año, obtenemos el 12,36 % anual (1,06)² =1,1236 (el monto es mayor debido a la capitalización de los intereses).

Por lo tanto, en el régimen compuesto las tasas de interés son siempre y solamente equivalentes, ya que trabajamos siempre con tasas efectivas; el 6 % semestral es equivalente al 12,36 % anual, no al 12 % como era en el régimen simple. En el Capítulo 4 profundizaremos en el estudio sobre las tasas equivalentes; por ahora solo diremos que son aquellas que, expresadas en diferentes momentos, tienen el mismo rendimiento efectivo cuando se las compara en un momento cualquiera.

Siguiendo con el ejemplo anterior, en el régimen compuesto la tasa equivalente al 12 % anual sería menor que el 6 % proporcional semestral (en realidad sería (1 + 0,12)^1/2 – 1 = 5,88 %, ya que con una tasa semestral menor que el 6 %, capitalizando intereses igual llegaría al 12 % anual). En cambio, en el interés simple, el 6 % semestral es equivalente al 12 % anual y, a la vez, proporcional.

Una clasificación para el régimen compuesto

En el régimen de interés compuesto y de acuerdo al tipo de operación, es posible establecer una clasificación en función de la capitalización intereses. Esta puede ser:

a. Periódica: los intereses se capitalizan durante n períodos y al final de cada uno de ellos. Ejemplo: colocamos un capital de 100 € al 10 % durante 2 períodos: los intereses se capitalizan dos veces:

100 (1 + 0,10)² = 121

b. Subperiódica: los intereses se capitalizan en forma subperiódica a lo largo de n períodos, es decir, que hay capitalizaciones intermedias dentro de cada período y aparece una «tasa proporcional». Ejemplo: colocamos un capital de 100 € al 10 % nominal anual con capitalización semestral y la operación dura dos años. De manera que habrá cuatro capitalizaciones, puesto que hay dos semestres en cada año:

Observe que la tasa del 10 % nominal anual la dividimos por 2 (dos) para proporcionarla al semestre, para llevarla al momento donde se produce la capitalización. Este caso es muy común en la práctica, donde las operaciones a plazo fijo se realizan a una tasa nominal anual, pero la capitalización se produce en períodos intermedios.

c. Continua: los intereses se capitalizan por instantes de tiempo. La naturaleza económica subyacente es que los intereses se capitalizan continuamente, si bien el reflejo de las operaciones se hace en momentos discretos. Por ejemplo, si se colocaran 100 € al 10 % continuo anual, tendríamos:

100 e^0,10 = 110,51

No es el momento de tratar aquí la capitalización subperiódica de los intereses y el caso límite donde los intereses se capitalizan por instantes de tiempo. Las variantes b) y c) serán explicadas con exhaustividad en el próximo capítulo.

Preguntas de autoevaluación

1. ¿Por qué en el régimen compuesto las tasas son solo equivalentes?

2. ¿Para qué una entidad querría calcular cómo los intereses se devengan diariamente?