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Fórmulas derivadas del monto a interés simple

Las fórmulas que se derivan de la fórmula genérica del monto a interés simple solo requieren simples despejes de términos. Realizaremos algunos comentarios respecto a ellas por que creemos que pueden revestir interés.

Tabla 2.2 Fórmulas del interés simple

Capital inicial	Tasa de interés	Número de períodos	Interés acumulado
			I(0,n) = C0in
o también	o también	o también	o también
			I(0,n) = Cn − C0

a. Fórmula del capital inicial

Simplemente, el capital inicial se obtiene descontando por n períodos el monto o capital final. Por caso, un capital final de 150 €, que fue obtenido con una tasa de interés del 10 % al cabo de 5 períodos, tiene hoy un valor de:

b. Fórmula de la tasa de interés

Esta fórmula es muy intuitiva, ya que se aplica muchas veces de manera automática para obtener porcentajes de rendimiento, aunque no se concozca su naturaleza. Piense por un momento que usted vende un bien a 150 € que adquirió cierto tiempo atrás por 120 €. El tiempo que media representa el período de la operación que para nosotros será igual a 1 (1 mes, 1 bimestre, un período de cierta cantidad de días, no importa realmente cuánto tiempo, para nosotros representa un período en este caso). Ahora supongamos que usted quiere conocer el porcentaje de rendimiento de esa operación. El cálculo intuitivo es tomar los 150, dividirlo por 120 y restar el 1 (uno):

Pues bien, la tasa de interés se calcula de esa forma, ya que representa la fórmula que resulta de obtener la tasa a partir de la fórmula del monto:

Si n = 1 y pasamos restando el 1, tenemos la fórmula que tantas veces se utiliza para calcular rápidamente un porcentaje de rendimiento:

c. Fórmula del número de períodos

Simplemente, observe que el numerador de la fórmula representa el interés acumulado, de forma tal que también puede escribirse:

d. Fórmula del interés acumulado

Para un capital inicial de C₀, el valor de I(0,n) representa el valor absoluto del interés acumulado, y estará dado por la relación: I(0,n) = C₀in, que quiere decir que ganamos «n veces la tasa de interés sobre el capital». Por ejemplo, 100 euros colocados durante 10 períodos al 5 % representan un interés acumulado de 50 €:

I(0,10) = 100 × 0,05 × 10 = 50

La fórmula del interés acumulado también puede razonarse como la diferencia entre el monto y el capital inicial:

I(0,n) = C_n − C₀ = C₀ (1 + in) − C₀ = C₀ + C₀in − C₀ = C₀in

O como la suma de todos los intereses periódicos:

I(0,n) = I(0,1) + I(1,2) + … + I(n − 1,n) = C₀i + C₀i + … C₀i = C₀in

En el régimen simple, las tasas siempre se suman.

e. Fórmula del monto a interés simple cuando cambia la tasa de interés y rigen por períodos irregulares

En la práctica, la tasa de interés no es constante, y también es posible que cada tasa se gane por períodos de tiempo diferentes; en este caso, no podemos utilizar la fórmula genérica del interés simple, puesto que la tasa es posible que se haya modificado mensualmente. En ese caso, desarrollaremos un factor de capitalización sumando las distintas tasas i₁, i₂... i_n, para los diferentes períodos de tiempo, (en el caso de que sean diferentes, los llamaremos p₁, p₂... p_n). La fórmula resultante es:

C_n = C₀ (1 + i₁p₁ + i₂p₂ + ... + i_np_n)

Ejemplo 1: se depositaron 100 € durante 3 meses con las siguientes tasas de interés: primer mes = 2 %; segundo mes = 4 %; tercer mes: 6 %. Se desea saber el monto de la operación:

Cn = 100 (1 + 0,02 + 0,04 + 0,06) = 112

Ejemplo 2: se depositaron 100 € durante 3,5 meses con las siguientes tasas de interés: primer mes = 2 %; segundo mes = 4 %; por los últimos 45 días se obtuvo el 6 % mensual. Se desea saber el monto de la operación:

C_n = 100 (1 + 0,02 + 0,04 + 0,06 × 1,5) = 115

Tasa proporcional en el interés simple

En la práctica, es común que se realicen operaciones de plazo fijo pactando una tasa nominal que llamaremos j(m), pero que los intereses capitalicen en forma subperiódica; en ese caso, debemos proporcionar la tasa nominal en el momento en el que capitalizan los intereses.² La tasa nominal es solo la tasa de pacto de la operación, sirve como referencia para el cálculo de la tasa efectiva de la operación. Así, es posible tener una tasa nominal anual, pero que capitaliza semestralmente, es decir, los interés se capitalizan a los seis meses, antes de llegar al año. Para obtener la tasa proporcional, simplemente dividimos la tasa nominal por el número de subperíodos de capitalización; que denominamos m:

Un punto importante es que la tasa proporcional obtenida a partir del dato de la tasa nominal es, a la vez, una tasa efectiva para el período de capitalización considerado; por ejemplo, una tasa nominal anual del 12 % que capitaliza semestralmente, arroja una tasa semestral del 6 %, que es a la vez una tasa efectiva y proporcional, pues representa el rendimiento que efectivamente se obtuvo al cabo de un semestre:

Resumiendo, la diferencia importante entre la tasa nominal y la tasa proporcional subperiódica es la no coincidencia de la unidad de tiempo en que está expresada la tasa de interés (nominal) con el período de capitalización. Otro detalle por observar es que, en el régimen simple, las tasas son al mismo tiempo proporcionales y equivalentes. Recuerde que en el interés simple las tasas se suman, de forma tal que da lo mismo ganar un 6 % en un semestre que el 12 % en el año. En el próximo capítulo veremos que no es lo mismo en el régimen compuesto, donde las tasas son solamente «equivalentes».

¿Año de 360 días o año de 365 días?

En algunos contratos de operaciones financieras, dependiendo de la legislación de cada país, se utiliza el año civil de 365 días, por lo que la tasa proporcional que resulta es ligeramente menor que la que obtendríamos con un año de 360 días; por ejemplo, para el caso anterior la tasa de 180 días sería:

En la práctica, el cálculo suele hacerse como 0,12 × 180 / 365, que resulta más rápido cuando se utiliza una calculadora de bolsillo. La consideración de los días contenidos en el año nos lleva al tema del interés exacto.

Interés civil y comercial

Los mercados financieros exhiben algunas discrepancias con respecto a la forma en que se consideran los días que contiene el año. En algunos contratos, se utilizan 360 días en lugar de los 365 días que el año contiene. De esta forma, podemos distinguir:

• Año exacto o civil: cuando se toman 365 días

• Año comercial: cuando se toman 360 días

Ejemplo: calcular el interés que se obtuvo en una operación donde se depositó un capital de 10.000 € durante 180 días, ganando una tasa nominal anual del 12 %. Resolver por año civil y por año comercial.

El interés obtenido utilizando el año comercial resulta un poco mayor que el obtenido utilizando el año civil, debido a que el resultado del cociente es un poco mayor al dividir por 360 en lugar de dividir por 365. Para conocer la relación entre los dos, simplemente dividimos miembro a miembro las relaciones indicadas anteriormente:

Y observamos que el interés exacto es un 98,63 % del interés comercial:

Interés exacto Interés comercial 0,9863

Ejemplos de aplicación del interés simple en la vida real

a. Los depósitos a plazo

Los certificados depósito a plazo fijo son instrumentos que especifican capitales, plazos y tasas de interés. Habitualmente no se negocian, si bien la reforma reciente del Código Civil y Comercial de la Nación lo permite (consulte la normativa vigente en su país), y existen en general plazos mínimos de tiempo por los cuales pueden constituirse, de forma tal que su liquidez es menor que una cuenta de ahorros. Cuando hacemos un plazo fijo inmovilizamos el dinero por el período de contrato (no importa el plazo, siempre es un solo período de 30, 45, 60 o más días, ya que no hay capitalización de intereses); por lo tanto, la operación se realiza dentro de las reglas del interés simple. La capitalización solo se produciría si se renovara la operación, pero entonces habría más de un período.

Ejemplo: se constituye un plazo fijo por 10.000 € con un contrato de una TNA del 10 %, por un plazo de 30 días. Al final del plazo, tenemos un monto de:

Nótese que hemos ganado 82,19 € de interés, que corresponden a un período de 30 días. Trabajamos con un año de 365 días por ser el año civil el que se utiliza en las operaciones de depósitos a plazo en el mercado financiero argentino.

b. Los intereses que devenga la caja de ahorros

La mayor parte de cajas de ahorros permite a su titular efectuar retiros de dinero, de tal forma que este tipo de cuentas resultan útiles para aquellas personas que desean obtener un rendimiento por sus ahorros, pero requieren al mismo tiempo la disponibilidad inmediata de los mismos. Esta característica es la que hace que los bancos en general paguen un interés modesto, pero, a cambio, se tiene la flexibilidad de hacer retiros y depósitos en cualquier momento.

La tabla 2.3 muestra el movimiento en una caja de ahorros donde los intereses se calculan de acuerdo al régimen simple y se acreditan a fin de mes. La tasa nominal anual para el período fue del 3 %.

Tabla 2.3 Intereses de la caja de ahorros

Fecha	Concepto	Depósitos/Extracciones	Saldo	Días
30/06/01			100	31
01/07/01	Depósito	100	200	30
15/07/01	Nota de débito	-50	150	16
20/07/01	Crédito	200	350	11
25/07/01	Extracción	-100	250	6
31/07/01	Capitalización de intereses	0.57	250.57	0

Para el cálculo del devengamiento de intereses con la TNA del 3 %, se calculan los intereses bajo el régimen simple teniendo en cuenta los días hasta fin de mes. Por ejemplo, para el saldo inicial se calculan intereses por los 31 días de julio, para el depósito de 100 € realizado el 01/07/01 deben contarse 30 días hasta el 31/07, y así sucesivamente. Para los retiros, anteponemos el signo menos y seguimos la misma regla, computando también los días que faltan hasta fin de mes.

100 × 0,03 × 31 / 365 + 100 × 0,03 × 30 / 365 − 50 × 0,03 × 16 / 365 + 200 × 0,03 ×

× 11 / 365 − 100 × 0,03 × 6 / 365 = 0,57

Nótese que, si bien los intereses se calculan bajo las reglas del interés simple dentro del mes, se acumulan al capital al final del mismo formando un monto de 250,57 para el mes siguiente. De forma tal que, en el próximo mes, los intereses se calcularán sobre 250,57, generando capitalización de intereses, por lo que a partir del mes siguiente opera el interés compuesto.

c. El ajuste de deudas impositivas

La Dirección de Impuestos suele cobrar intereses compensatorios y resarcitorios aplicando las reglas del interés simple en algunos casos. Suponga que cierta empresa mantiene una deuda fiscal de 15.000 € hace tres meses y ahora desea saldarla. Si la tasa de interés que cobra el fisco es del 3 % mensual, el importe a saldar será:

15.000 × (1 + 0,03 × 3) = 16.350

d. El cálculo de indemnizaciones

En los cálculos de las indemnizaciones laborales, la jurisprudencia establece que en algunos casos, el monto de la sentencia debe ajustarse según las reglas del interés simple, utilizando la tasa de interés activa del Banco Nación. La tasa de interés nominal anual para las operaciones activas fluctuó de la siguiente forma:

Enero: 10 % Febrero: 11 % Marzo: 12 %

Un monto de sentencia de 100 € se ajustaría de la siguiente forma:

Ya hemos visto que en el régimen simple, los intereses siempre se calculan sobre el capital inicial. También aparecía una tasa proporcional, pues muchas operaciones se contratan para un período que no coincide con la tasa nominal. El tema de la tasa nominal de interés y sus correspondientes equivalencias será tratado exhaustivamente en el Capítulo 4, que destinamos a las tasas de interés. Por ahora, diremos que la tasa nominal, que tiene una sola capitalización en el período, es a la vez la tasa efectiva del período. Por ejemplo, si usted colocó dinero en una institución contratando una tasa nominal anual del 10 % y esta tasa al mismo tiempo capitaliza anualmente, su rendimiento efectivo también será del 10 %.

Análisis de las funciones monto e interés acumulado

Para el análisis de las funciones del monto y del interés, asumiremos que el capital inicial (C₀) es igual a 1 €, lo cual facilitará el razonamiento.

La función del monto a interés simple C_n = 1 + in es una función lineal, creciente, de la forma y = ax + b, de forma tal que es una semirrecta de coeficiente angular i > 0 definida para valores positivos de i; precisamente, i representa la pendiente de la función y b es la ordenada al origen, que en nuestro ejemplo está representada por el capital original de 1 €. Por lo tanto, la función corta al eje de las ordenadas en 1, y es creciente con respecto al tiempo, ya que a medida que aumenta el número de períodos, también aumenta el monto a interés simple. Suponiendo entonces que el capital inicial es C₀ = 1 € y la tasa de interés es i = 0,10, en la tabla 2.4 se muestra cómo se acumulan los intereses y el monto, que aparecen en las figuras 2.1 y 2.2:

Tabla 2.4 Interés periódico, interés acumulado y monto en el régimen simple

Período	Interés periódico	Interés acumulado	Monto
0	0	0	1
1	0.10	0.10	1.10
2	0.10	0.20	1.20
3	0.10	0.30	1.30
4	0.10	0.40	1.40
5	0.10	0.50	1.50
6	0.10	0.60	1.60
7	0.10	0.70	1.70
8	0.10	0.80	1.80
9	0.10	0.90	1.90
10	0.10	1.00	2.00

Figura 2.1 Función interés acumulado.

Figura 2.2 Función monto.

La función interés I(0,n) también es lineal creciente desde cero (ya que no se devengó interés en el momento cero) y la función monto comienza en 1 (uno), que representa el capital original de la operación. La función monto tiene la misma pendiente que la función del interés acumulado, y que está representada por la tasa de interés; la diferencia es que la función monto comienza en el capital original, mientras que la función interés comienza en cero.

Análisis del rendimiento efectivo

Para comparar cuál fue el rendimiento efectivo de un período, tenemos que comparar el interés de ese período contra el capital utilizado para obtenerlo. Suponga un capital inicial igual a 100 € que se coloca a una tasa de interés del 10 % periódico; según se observa en la tabla 2.5.

Tabla 2.5 Interés periódico y rendimiento efectivo en el régimen simple

T	Capital	Interes periódico	Monto	Rendimiento efectivo
1	100	10	110	10 %
2	110	10	120	9,09 %
3	120	10	130	8,33 %
4	130	10	140	7,69 %

El rendimiento efectivo es calculado dividiendo el interés periódico por el capital al inicio. Así, para el primer período es el 10 %, (10 / 100) – 1, pero para el segundo se reduce al 9,09 %, pues el interés periódico sigue siendo de 10 €, pero representa un porcentaje menor de un capital de 110 €. Es claro que mientras el interés periódico se mantenga constante, representará un porcentaje menor comparado con el capital inicial. Por lo tanto, el rendimiento efectivo en el régimen simple es decreciente. Por ejemplo, para calcular el rendimiento efectivo del período 4, tendríamos que comparar el interés periódico (que es siempre constante) contra el capital al final del período 3:

Generalizando, para obtener el rendimiento de un período cualquiera hacemos:

De la expresión anterior se deduce que si el numerador es constante y el denominador es creciente (ya que cuando aumenta el número de períodos p también aumenta), el rendimiento periódico es decreciente.

Plazo medio

Suponiendo que tres capitales C₁, C₂ y C₃ son colocados durante diferentes plazos t₁, t₂ y t₃, se denomina plazo medio n al tiempo durante el cual debe ser colocada la suma de esos capitales, a la misma tasa, de modo que el interés producido sea igual a la suma de los intereses producidos por cada uno de los capitales C₁, C₂ y C₃:

(C₁ + C₂ + C₃) in = C₁it₁ + C₂it₂ + C₃it₃

Dividiendo ambos miembros por i y despejando el valor de n, obtendremos:

Esta última fórmula nos permite obtener las siguientes conclusiones:

a. El plazo medio es independiente de la tasa de interés común.

b. El plazo medio es la media aritmética ponderada de los plazos.

La conclusión b nos permite establecer una fórmula general para el plazo medio, que es igual a la sumatoria de los plazos ponderados:

La fórmula del plazo medio puede ser establecida para cualquier unidad común de plazos, y el valor de la incógnita n se referirá a una unidad de tiempo común de los plazos t₁, t₂ y t₃. En particular, si C₁ = C₂ = C_3, podemos sacar el factor común en la expresión anterior y nos queda:

Donde N representa la cantidad de capitales (N = 3 en este caso) y observamos que, en este caso, el plazo medio será el promedio simple de los plazos dados.

Ejemplo: tres capitales de 100, 200 y 300 fueron colocados a la misma tasa del 10 % mensual durante 4, 5 y 6 meses, respectivamente. Calculamos ahora durante cuánto tiempo tendría que estar aplicada la suma de esos capitales, a la misma tasa, para que los intereses sean iguales a la suma de los intereses de esos capitales en los plazos dados.

Tasa media

Suponiendo que tres capitales C₁, C₂ y C₃ sean colocados durante n períodos a tasas diferentes i₁, i₂ y i₃, se denomina tasa media de una operación a la que debe ser colocada la suma de esos capitales durante n períodos, para que produzcan un interés que iguale la suma de los intereses que produce cada uno de los capitales C₁, C₂ y C₃:

(C₁ + C₂ + C₃)in = C₁i₁n + C₂i₂n + C₃i₃n

Podemos sacar el factor común n en el segundo término y luego despejamos la tasa media:

De la fórmula se observa que:

a. La tasa media es independiente del plazo común al que fueron colocados los depósitos.

b. La tasa media es la media aritmética ponderada de tasas.

La conclusión b nos permite establecer una fórmula general para la tasa media, que es igual a la sumatoria de las tasas ponderadas:

En particular, si C₁ = C₂ = C₃, se puede sacar el factor común C_j y la fórmula de i se simplifica por la siguiente:

En este último caso particular, la tasa media es el promedio simple de las tasas dadas. N representa la cantidad de capitales (N = 3 en este caso).

Ejemplo: tres capitales de 100, 200 y 300 fueron colocados con tasas de interés mensuales del 10 %, 20 % y 30 %, respectivamente, durante un mes. Calculamos ahora cuál fue la tasa media de la operación:

Preguntas de autoevaluación

1. ¿La fórmula genérica del monto a interés simple puede usarse en cualquier caso?

2. ¿Por qué las tasas se suman en el régimen simple en lugar de multiplicarse?

3. ¿Cuál es la diferencia entre el interés exacto y el interés comercial?

4. ¿Por qué en el régimen simple las tasas son proporcionales y al mismo tiempo equivalentes?

2.3 Descuento simple
Descuento racional y tasa de interés vencida

Cuando definimos el monto de un capital, se estableció una relación directa entre el capital inicial y el valor final del mismo, sujeto a un régimen de capitalización a una tasa de interés i por un número de unidades de tiempo que llamamos n.

Supondremos inicialmente una operación genérica de descuento: queremos disponer hoy de una suma de dinero que tenemos que cobrar dentro de 1 año por 1 €; por su disponibilidad inmediata, nos descontarán los intereses que representan la diferencia entre el capital disponible dentro de un año y su valor presente.

Figura 2.3 Valor presente con descuento racional.

El capital de 0,90 representa el valor presente de la suma de dinero futura, y la diferencia entre el capital futuro de 1 € y los 0,90 que recibimos hoy representa el descuento, que se define como la compensación, o el precio que debe pagarse por la disponibilidad inmediata de un capital antes de su vencimiento dentro de n unidades de tiempo.

El proceso de transformación de los valores futuros en valores presentes se denomina genéricamente «descuento», y a veces «actualización», y representa la contrapartida del proceso de capitalización. En el régimen simple, se distingue entre un descuento racional y un descuento comercial. Sobre la controversia acerca de si corresponde utilizar el término «descuento» o «actualización» será aclarada en una sección posterior. La diferencia entre los mismos radica en la forma en cómo se analiza la operación, siendo en el fondo, exactamente iguales. Comenzaremos describiendo el llamado descuento racional a los fines teóricos, para inmediatamente concentrarnos en las facetas del descuento comercial, por ser esta forma de calcular el descuento la más extendida en la práctica y por ser la forma en que el descuento es percibido por los agentes económicos.