Kitabı oku: «Manual de matemáticas financieras», sayfa 7

Guillermo L. Dumrauf

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2.8 Respuesta a las preguntas

1. a

2. a, b, d y e

3. a. constante/decrecientes

b. constante/crecientes

c. máximo/es igual al inverso del número de períodos que tiene la operación

4. b

5. En la expresión i = d / (1-d.n) la tasa efectiva de descuento es d.n, donde d es la tasa nominal de la operación, pues el descuento se realiza por n períodos. A la inversa, en la expresión d = i / (1+i.n), la tasa efectiva de interés es i.n, pues habría que colocar el valor presente recibido durante n períodos a la tasa i para reconstruir el capital de la operación. En ese caso, i es una tasa nominal. Cuando n = 1, entonces tanto d como i son tasas efectivas en las fórmulas de equivalencia.

6. Al retirar su dinero periódicamente, no permite que se capitalicen los intereses.

7. El descuento comercial analiza el descuento asumiendo que este se practica sobre el capital que debe devolverse; el descuento racional asume que el descuento se practica sobre el valor recibido en préstamo.

8. El vencimiento medio siempre cae entre los vencimientos de los documentos que reemplaza, pues: a) nunca puede caer en el extremo inferior de vencimientos pues el valor presente de los documentos que se reemplazan sería menor que la suma de los documentos, y b) nunca podría caer en el extremos superior de vencimientos pues los valores capitalizados serían mayores a la suma de los valores nominales de los documentos. Se inclinará el vencimiento medio más a un vencimiento u otro, dependiendo de a) los valores nominales de los documentos, y b) la tasa de interés.

9. a

10. b

2.9 Resolución de los problemas

1. Es un ejercicio sencillo de interés simple, donde se deposita un capital a una tasa de interés efectiva mensual. En los mercados financieros, se sobreentiende siempre que una tasa mensual siempre se refiere a un mes de 30 días. Aplicando la fórmula del monto a interés simple, tenemos:

Co(1 + in) = 100.000 (1 + 0,005 × 1) = 100.500

Observe que el número de períodos de la operación es igual a uno, ya que se supone que estamos realizando un depósito por «un período», que en este caso es un mes. Cuando el período de la operación es «1», la tasa nominal y la efectiva son exactamente iguales. También se observa que la tasa de interés aparece expresada en «tanto por uno» (0,5 / 100 = 0,005), que es lo que se hace siempre en las operaciones de matemática financiera.

2. I(0,n) = C₀in = 100.000 × 0,005 × 1 = 500

4. En este caso, como el dato disponible es el interés acumulado, despejamos el capital inicial de la fórmula para I(0,n):

5. Para saber el porcentaje de descenso en dólares, dividimos el precio nuevo por el precio viejo, siempre en dólares, y restamos el 1:

Note que el cociente entre 310 y 400 nos dice qué porcentaje representa 310 de 400 (77,5 %); al restar el 1, nos da el porcentaje en que debe descender 400 para transformarse en 310. Otra forma de razonar esto es asimilar el descenso del precio a una tasa de descuento:

La fórmula anterior resulta de despejar la tasa de descuento de la fórmula del valor presente con descuento comercial C₀ = C_n (1 – dn), ya que el porcentaje de descenso puede asimilarse a un descuento. Ahora bien, como aumentó la cotización del dólar, el juego cuesta en pesos 310 × 2,95 = 914,50. Para saber el incremento porcentual en pesos, dividimos el nuevo precio en pesos por el viejo precio en pesos:

Note que en el interés simple las tasas se suman; en esta operación puede verse que se ganó 12 veces el 1 % mensual si realizamos la operación inversa partiendo del capital inicial hasta llegar al monto:

C₀(1 + in) = 267.857,14 (1 + 0,01 × 12) = 300.000

7. Como tenemos como dato disponible el interés obtenido, simplemente despejamos el capital de la fórmula. En este caso, la tasa de interés es una tasa nominal, por lo que debemos proporcionarla para el período de la operación:

Observe que se partió de la fórmula del interés I(0,n) = C₀in y se despejó el capital inicial, quedando C₀ = I(0,n) / in; lo que ocurre es que al tratar con una tasa nominal debimos proporcionarla previamente. Una vez expresada la tasa en 30 días, el número de períodos de la operación n = 1.

9. Observe que cuando proporcionamos la tasa del 8 % anual a los 30 días obtenemos una tasa efectiva mensual del 0,6575 %.

10. En los mercados financieros, generalmente se conviene que el día de la aplicación (1/1/2004) gana intereses, no así el día del retiro (20/02/2004). Por lo tanto, contamos 31 días para enero y 19 para febrero, en total 50 días.

11. Capital al final de los 6 meses: 10 000(1+0,05×6) = 13 000

Retirando 500 € al final de los 120 días (cuatro meses):

10.000(1+0,05×6) − 500(1+0,05×2) = 12 450

También puede resolverse haciendo explícita la operación, calculando el monto al final de los 120 días, luego restar el retiro de 500 €, y finalmente sumar los intereses calculados bajo el régimen simple:

Aplicación inicial por 4 meses:	10.000(1+0,05×4) = 12.000
Menos retiro a los 4 meses:	(500)
Más intereses sobre capital inicial	950 (9.500×0,05×2)
Total	12.450

Note que los intereses de los últimos dos meses se calcularon sobre 9.500, ya que se supone que los 500 se retiran del capital inicial, siguiendo estrictamente las reglas del interés simple.

12.

13. Como C₁ + C₂ = 35.000, podemos reexpresar C₁ en función de C₂

(35.000 × 1,032876 − C₂1,032876 + C₂1,018082 = 35.854,80

C₂(−0,014794) = −295,86

Como C₂ = 20.000, reemplazando en (C₁ + C₂) = 35.000, resulta C₁ = 15.000.

14. Como C₁ + C₂ = 50.000, podemos expresar C₁ en función de C₂ y luego igualar la suma de los intereses ganados en cada inversión al interés total obtenido:

493,15 − C₂0,009863 + C₂0,0049315 = 394,52

−C₂0,0049315 = −98,63

Finalmente C₂ = 20.000 y, por lo tanto, C₁ = 30.000.

15. Los intereses se calculan sobre saldo deudor que se arrastra desde el mes anterior; sobre el gasto de 250 € del mes en curso, no se calculan intereses por corresponder al período que financia la tarjeta.

Saldo al 30-4-2012 = 500 + 20 + 250 = 770

16. Intereses al

17. El valor presente del documento es

El verdadero coste efectivo de la operación debemos medirlo en tasa de interés vencida, por lo que después de calcular la tasa de descuento calculamos su correspondiente equivalente vencida:

Luego, el cálculo para 2 meses:

La tasa de descuento para 60 días resulta ser el doble de la tasa de 30 días, pero aquí debemos alertar acerca del coste efectivo de la operación. En el régimen simple, cuando calculamos la tasa de interés vencida a partir de la tasa de descuento, la cantidad de períodos influye en la relación de equivalencia (cosa que no ocurre en el interés compuesto), y esta es calculada con la fórmula:

i₆₀ = 0,0126 × 2 = 0,0252 = 2,52%

Ya que, si colocamos 97,53 € al 1,26 % mensual durante 2 meses, obtendremos 100 €; en régimen simple, para una operación de dos meses, el 1,26 % es una tasa nominal, ya que la tasa efectiva de la operación de dos meses es el 2,52 % (1,26 % × 2). En otras palabras, un capital de 97,53 colocado al 1,26 % mensual durante dos meses reproduce los 100 € que era el valor nominal del documento:

97,53 (1+0,0126×2) = 100

18. El valor presente del documento es:

La comisión se cobra sobre el valor nominal: Comisión (20.000 0,018) 360

El valor efectivo recibido es 19.736,98 − 360 = 19.376,98.

Luego, a través del cociente entre el valor nominal y el valor efectivamente recibido podemos calcular el coste efectivo de la operación en términos de tasa de interés vencida:

19. El valor presente recibido es:

y el descuento comercial:

20. En el precio de contado, como resulta obvio, hay un descuento implícito del 25 %, que también podemos determinar mediante la fórmula de la tasa de descuento en el descuento comercial. Si hay una tasa de descuento, hay siempre una tasa de interés vencida equivalente:

También podemos calcular la tasa de interés vencida (que en el caso del pago con tarjeta funciona como un recargo sobre el precio de contado) realizando el cociente entre el monto y el valor presente y restarle 1 (uno):

21. Usted puede calcular el coste efectivo haciendo un análisis un poco largo, calculando primero la tasa efectiva de descuento y finalmente su equivalente vencida. Si recordamos que Co = Cn (1 – dn), siendo n = 1, tenemos que la tasa de descuento d es igual a:

Observe que siempre en las fórmulas donde se despeja la tasa de descuento a partir de los datos capital inicial y monto, siempre aparece el número 1 primero y luego se resta el cociente Co/Cn, ya que si a la unidad le restamos la proporción que representa el capital inicial o valor descontado sobre el valor nominal, nos da la tasa de descuento. Luego podemos calcular la tasa de interés vencida equivalente con la conocida fórmula de equivalencia:

Pero podríamos haber hecho el cálculo de una forma más rápida, igualando factores de capitalización. Para transformar un factor de descuento en uno de capitalización, debemos expresarlo con el exponente −1. Luego podemos establecer la equivalencia:

Y simplemente despejar la tasa de interés vencida i a partir de los datos capital inicial y monto, sin necesidad de pasar por la tasa de descuento (que, por otra parte, no era solicitada en el ejercicio).

22.

23. Aplicando la fórmula del «atajo» para el vencimiento medio:

Tendremos:

24. Expresando la igualdad para una corriente de tres pagos iguales, solo debemos despejar la incógnita X:

Primero, sacamos factor común X:

Finalmente, resolvemos para X:

25. En primer lugar, el coste financiero de pagar al proveedor a 30 días y no a 90 involucra un descuento del 3,29 % efectivo por 60 días, que es equivalente a una tasa vencida para el mismo plazo del 3,40 % [0,0329/(1-0,0329)], de modo que el coste de oportunidad del período de 60 días, es del 3,40 %. Para saber cuál es la mejor alternativa de financiamiento, debemos comparar el coste financiero de cada alternativa para un período de 60 días.

a. En este caso, la tasa de descuento nominal para 60 días equivale a una tasa de descuento efectiva d = (0,20 × 60 / 365) = 3,29 %. Pero como además se exige inmovilizar el 2 % del valor descontado, el total recibido por cada 100 € es 100 – 3,29 – 2 = 94,71 €. El coste financiero para 60 días resulta ser entonces: 100 / 94,71 – 1 = 5,58 %.

b. La tasa de descuento nominal para 60 días equivale a una tasa de descuento efectiva d = (0,18 × 60 / 365) = 2,96 %. Pero como además deben abonarse al contado comisiones (3 %), gastos administrativos (2 %) y un sellado (1 %), el total recibido por cada 100 € es 100 – 2,96 – 3 – 2 – 1 = 91,04 €. El coste financiero para 60 días resulta ser entonces 100 / 91,04 – 1 = 9,84 %.

c. En este caso, el coste efectivo para 60 días es 0,25 × 60 / 365 = 4,11 %.

No conviene pagar por adelantado al proveedor, ya que el descuento que ofrece es muy bajo, incluso comparado con la alternativa más barata de financiamiento analizada, cuál es el adelanto en cuenta corriente bancaria.

2.10 Contenido de la página web de apoyo

El material marcado con asterisco (*) solo está disponible para docentes.

Mapa conceptual

Autoevaluación

Presentaciones*

____________

¹ La función del monto a interés simple, en una visión estrictamente matemática, no supone que se retiren los intereses del capital (si así fuera, cabe pensar que podrían esos intereses depositarse en otra institución, con lo cual se generarían nuevos intereses, transformándose en una operación de interés compuesto). Sin embargo, el contraargumento es que en la práctica es posible encontrar casos donde se retiran los intereses del capital; en ese caso, los intereses no producen nuevos intereses (por ejemplo, cuando alguien retira la renta que genera algún activo para consumirla).

² Se entiende por «capitalización de intereses» al momento en que estos se convierten en capital, que es el momento en el cual se acreditan.

³ En este ejemplo, se ha trabajado con una tasa efectiva de descuento que llamamos d (cuando el período de la operación es uno solo, la tasa nominal de descuento y la efectiva de descuento son iguales).

⁴ Cuando la capitalización es continua las tasas de interés y de descuento se igualan.

⁵ Esto solo tiene valor como curiosidad matemática. En la práctica, nadie descuenta un documento para no recibir nada, o lo que es más absurdo, tener que dar dinero para no recibir nada a cambio.

⁶ También puede decirse que el valor del documento se anula cuando la tasa es igual a la inversa del número de períodos.

⁷ El valor de la tasa de interés sí influye en el vencimiento medio con descuento racional. La explicación requiere observar los cambios en el valor de la función vencimiento medio para cambio en el valor de la tasa de interés, derivando la función.

«La magnitud de las cantidades de dinero parece variar en modo notable según hayan de ser pagadas o cobradas.»Aldous Huxley (1894-1963),poeta y novelista inglés

Interés compuesto

Contenido

3.1 Introducción

3.2 Monto a interés compuesto

3.3 Descuento compuesto con tasa de interés vencida

3.4 Descuento compuesto con tasa anticipada

3.5 Resumen

3.6 Preguntas

3.7 Problemas

3.8 Respuesta a las preguntas

3.9 Resolución de los problemas

3.10 Contenido de la página web de apoyo

Objetivos

• Calcular montos y rendimientos cuando hay interés compuesto.

• Calcular medias geométricas o tasas de interés equivalentes compuestas.

• Calcular un valor presente.

• Determinar capitales equivalentes.

3.1 Introducción

Cuando hablamos de interés compuesto nos referimos al régimen en el que los intereses se capitalizan, es decir, pasan a formar parte del capital; a diferencia del interés simple, en el régimen compuesto, el interés se incorpora al capital y produce nuevos intereses. La tasa de interés se aplica sobre el saldo inicial y los intereses generados y no pagados en períodos anteriores. Al proceso de incorporar los intereses generados y no pagados en períodos anteriores se denomina capitalización de los intereses, es decir, los intereses generados y no pagados van a formar parte del capital. En cambio, en el interés simple, la tasa de interés se aplica solamente sobre el capital inicial.¹

En la vida real, aparece el interés compuesto, por ejemplo, cuando renovamos un depósito a plazo fijo sin retirar los intereses; los intereses obtenidos en la primera aplicación se integran al capital y producen interés compuesto en el segundo período.

Podemos hablar de régimen compuesto en sus dos acepciones, es decir, capitalización y descuento, que puede practicarse con una tasa de interés vencida o con una tasa «anticipada» o «adelantada». En la primera, partimos de una suma de dinero hoy, generando intereses hacia el futuro; en el descuento, por el contrario, una suma de dinero futura es expresada en el presente.

Después de leer este capítulo, usted debería ser capaz de:

• Calcular montos y rendimientos cuando hay interés compuesto.

• Calcular medias geométricas o tasas de interés equivalentes compuestas.

• Calcular un valor presente.

• Determinar capitales equivalentes.

3.2 Monto a interés compuesto

Suponga que usted posee hoy la suma de 1 € y cuenta con la posibilidad de colocarla en una institución bancaria al 10 % de interés durante un año. Al final del mencionado período, la cuenta acumularía 1,10 €; los diez céntimos de interés ganados en la operación representan el valor tiempo del dinero, es decir, el pago recibido como consecuencia de sacrificar consumo presente para, eventualmente, disponer de un consumo mayor en el futuro:

Observe que cuando finalizó el primer período, el interés que se obtuvo es el mismo que se habría obtenido en el régimen simple, pues en un período todavía no hay capitalización de intereses. Luego, usted podría renovar la operación sucesivamente, de manera que la suma de dinero crezca a lo largo de varios períodos. Por ejemplo, si la operación se renovara durante 5 años, su cuenta acumularía 1,61 € según puede apreciarse en la figura 3.1:

Figura 3.1 Monto a interés compuesto.

El monto de la operación depende de dos variables: el tiempo por el cual se realiza esta y la tasa de interés de la operación. Obviamente, cuanto mayor sean la tasa de interés y el tiempo de la operación, mayor será el monto o valor futuro. La figura 3.2 muestra la evolución de un capital de 1 € compuesto a lo largo de 50 años con tasas de interés anuales del 8, 9 y 10 por ciento respectivamente. En una operación financiera, el valor de la tasa de interés, en un período largo, puede constituir una diferencia importante.

Figura 3.2 Monto a interés compuesto con distintas tasas de interés.

En la tabla 3.1 puede apreciarse la fuerza del interés compuesto. Mientras que a una tasa del 8 % el capital crece 46,9 veces (459 %) en 50 años, con una tasa del 10 % lo hace 117,39 veces (11.639 %). Elegimos tasas cercanas al 10 % anual, pues representan un rendimiento muy cercano al rendimiento promedio de los índices bursátiles cuando son medidos en un período largo.

Tabla 3.1 Monto compuesto para diferentes tasas de interés

Año	i = 8 %	i = 9,0 %	i = 10 %
0	1,00	1,00	1,00
10	2,16	2,37	2,59
20	4,66	5,60	6,73
30	10,06	13,27	17,45
40	21,72	31,41	45,26
50	46,90	74,36	117,39

Características principales del interés compuesto

1. Los intereses siempre se calculan sobre el monto acumulado al final del período anterior, de manera tal que existe capitalización de intereses; en sentido estricto, capitalización significa que los intereses se incorporan al capital, haciendo que los intereses produzcan más intereses.

2. Se deduce del punto anterior que los intereses representan una suma variable, a medida que la incorporación de los intereses hacen que el capital sobre el que se calcularon, aumente período a período.

3. El capital tiene un crecimiento que es proporcional a su valor durante el período anterior. La constante de proporcionalidad es la razón entre el valor en un período y el anterior (1 + i).

Describimos a continuación, a fin de poder mostrar las relaciones entre los distintos componentes de una operación a interés compuesto, el cuadro de evolución progresiva del interés compuesto:

Evolución del interés compuesto

Tabla 3.2 Evolución del interés compuesto

Período	Capital Inicial	Interés	Monto periódico
1	C₀	I(0,1) = C₀i	C₁ = C₀ + C₀i = C₀(1+i)
2	C₀(1+i)	I(1,2) = C₀(1+i)i	C₂ = C₀(1+i) + C₀(1+i)i = C₀(1+i)²
p	C₀(1+i)^p-1	I(p–1,p) = [C₀(1+i)^p-1]i	C_p = C₀(1+i)^p