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Vencimiento medio
Se habla de vencimiento medio cuando solo se modifica el plazo de vencimiento (es decir, que no se le cambia el valor a los pagos, ya que en este caso los capitales se reemplazan por un capital Ct que es igual a la suma de los capitales originales. Siguiendo con el ejemplo anterior, donde el valor presente de los dos documentos por reemplazar era de 9.513,55 €, debemos resolver el momento en que ese valor iguala a la suma de los dos documentos (C1 + C2).
Para obtener el plazo de vencimiento, se recurre a la fórmula que obtiene el número de períodos y que habíamos deducido de la fórmula del monto a interés simple:
La parte fraccionaria de la respuesta (0,81 meses), debe interpretarse como el 81 % de un mes de 30 días, lo que significaría que el plazo sería igual a 7 meses y 24 días.
A diferencia del vencimiento común, cuando tenemos un problema de vencimiento medio la incógnita puede ser una sola: el número de períodos, ya que el valor nominal del nuevo documento es predefinido como la suma de los valores nominales de los documentos que reemplaza y, por lo tanto, no es una incógnita.
Observe que el valor del número de períodos se ubica entre los dos vencimientos, como no podía ser de otra manera. Si lo analizamos desde los límites, el vencimiento común nunca podría haber caído en el período 6 o en el 8. En el primer caso, porque el valor presente de 10.000 € haría que la suma de los dos documentos sea menor que 11.000 €; y en el segundo porque en el período ocho 1.000 € capitalizados haría que la suma sea mayor que 11.000 €. Por lo tanto, necesariamente el vencimiento común debe ubicarse en el medio de los vencimientos. ¿Más cerca de 6 o de 8? La fecha del vencimiento común dependerá de dos cosas: a) el valor nominal de los documentos y b) la tasa de interés. El lector puede comprobar por su cuenta que:
• Si el orden de los vencimientos se hubiera invertido, con 10.000 venciendo en el mes 6 y 1.000 venciendo en el mes 8, el vencimiento común sería 6,17.
• Si la tasa de interés hubiera sido del veinte en lugar del dos por ciento, el vencimiento común caería en 7,79.
Un atajo para calcular el vencimiento medio: la tasa no influye en el descuento comercial
a. En el descuento racional
El último punto de la sección anterior ilustraba una relación muy importante: aun para grandes cambios en la tasa de interés vencida, el vencimiento medio —en el descuento racional— se modifica muy poco. ¿A qué se debe? Cuando la tasa de interés aumenta, hay dos fuerzas que juegan en sentido contrario: por un lado crece el monto del documento cuya fecha de vencimiento es anterior a la del vencimiento medio y, por otro, se reduce el valor presente del documento cuyo vencimiento es posterior a la fecha del vencimiento medio.
En general, el vencimiento medio se mueve hacia la fecha de vencimiento del documento de mayor valor, pero un aumento en la tasa de interés produce el siguiente cambio: si el vencimiento del documento con mayor valor es el más lejano, el vencimiento medio se reduce; si por el contrario, el vencimiento es anterior al del documento con menor valor, el aumento de la tasa lo acerca a su fecha de vencimiento. Lo contrario se cumple para reducciones en la tasa de interés. Estos efectos son todavía más importantes en el régimen compuesto, y conocer esta relación tiene particular importancia en situaciones de la vida real, por ejemplo, en el diseño de carteras «inmunizadas» de títulos de renta fija.
b. En el descuento comercial
El caso del vencimiento medio en el descuento comercial plantea un caso interesante, ya que puede calcularse independientemente de la tasa de contrato de la operación. El principio de equivalencia nos dice que el valor presente del nuevo documento es igual a la suma de los valores presentes de los documentos que reemplaza:
C (1 − dt) = C1 (1 − dt1) + C2 (1 − dt2)
Distribuyendo y luego sacando el factor común queda:
C − Cdt = C1 − C1dt1 + C2 − C2dt2
Como en el vencimiento medio, en el nuevo documento C = C1 + C2 podemos simplificar la ecuación y queda:
Cdt = d (C1t1 + C2t2)
Finalmente, podemos despejar t:
Para el ejemplo anterior, resulta:
Y si se invirtieran los vencimientos, como fue mencionado anteriormente, el período t hubiera sido de nuevo 6,17:
En el caso particular de que C1 = C2 la fórmula quedaría:
Donde N representa el número de documentos. Observe que en estas expresiones no aparece la tasa de descuento de la operación. El resultado hubiera sido el mismo aunque la tasa de descuento hubiera sido del 2 % o del 200 %. Sin embargo, vimos que cuando aplicábamos el descuento racional, un cambio en la tasa de interés vencida tenía influencia, aunque muy poca, en el vencimiento medio de la operación. ¿Por qué en el descuento comercial el cambio en la tasa de descuento no influye sobre el resultado? Ya vimos que para que el descuento comercial y el racional arrojen exactamente el mismo resultado, tendríamos que utilizar para cada documento la tasa equivalente para cada período, según el vencimiento de cada documento. Así, tendríamos que calcular la d equivalente a la i en cada período, ya que la relación se ve alterada por el número de períodos, como fue demostrado anteriormente. En cambio, si utilizamos el descuento comercial y se predefine una tasa de contrato d, si bien es cierto que, cuanto mayor sea esta, menor será el valor presente de los documentos, inmediatamente aparece implícita una tasa vencida de arbitraje que iguala el valor presente con la suma de los documentos (11.000) siempre en idéntico plazo. Por ejemplo, si hacemos el cálculo con tasas de descuento de d = 2 % y d = 10 % mensual, el valor presente de los documentos en cada caso sería:
V(d=2%) = 1.000 (1 – 0,02 × 6) + 10.000 (1 – 0,02 × 8) = 9.280
V(d=10%) = 1.000 (1 – 0,10 × 6) + 10.000 (1 – 0,10 × 8) = 2.400
Luego el vencimiento medio en ambos casos sería:
Siempre hay implícita una tasa de interés vencida que hace que la colocación de 9.280 o de 2.400 (2,37 % mensual y 45,83 % mensual) alcance en 7,8181 períodos el monto de 11.000 €:
9.280 (1 + 0,0237 × 7,8181) = 11.000
2.400 (1 + 0,4583 × 7,8181) = 11.000
Por lo tanto, la tasa de descuento no influye en el vencimiento medio, ya que si esta aumenta, y con ello disminuye el valor presente de los documentos, luego surge una tasa de interés vencida mayor que vuelve a igualar el valor presente con la suma de los documentos siempre en el mismo plazo.7
Preguntas de autoevaluación
1. ¿Por qué en el cálculo del vencimiento común o el vencimiento medio debemos siempre calcular primero el valor presente?
2. ¿Por qué la tasa no influye en el vencimiento medio en el descuento comercial?
2.5 Resumen
Entendemos por régimen de interés simple aquel donde los intereses se calculan sobre el capital inicial. En la vida real, tenemos ejemplos de cálculo de los intereses bajo el régimen simple como los depósitos a plazo fijo, los intereses de la caja de ahorros en el interior del período de capitalización, los ajustes de deudas impositivas, indemnizaciones y otros.
En las operaciones de descuento, este se practica siempre sobre el valor nominal del documento, dando lugar a la conocida tasa «adelantada», «anticipada» o de descuento comercial, que involucra una tasa de interés vencida «implícita». Esta última es la que debe considerarse a la hora de establecer el verdadero coste financiero de una operación de descuento.
Por último, el principio de equivalencia de capitales nos dice que dos capitales son equivalentes cuando tienen el mismo valor presente. Esto es relevante en el caso de reemplazo de pagos para el vencimiento común y el vencimiento medio.
2.6 Preguntas
1. Marque la respuesta correcta en la siguiente afirmación: «En el régimen simple, si las tasas de interés cambian período a período, para calcular el monto dentro de n períodos, estas deben»:
a. Sumarse en la expresión (1 + i1 + i2 + … in)
b. Multiplicarse en los siguientes factores (1 + i1) (1 + i2) … (1 + in)
2. Marque cuáles de los siguientes atributos tiene una tasa nominal:
a. Representa la tasa contractual de la operación.
b. Es una tasa vencida, a interés simple.
c. Si contratamos un plazo fijo al 6 % anual por 30 días, y lo renovamos cada 30 días, el rendimiento efectivo anual siempre será igual a la tasa nominal anual del 6 %.
d. Es un coeficiente de comparación, sirve para comparar entre tasas nominales.
e. Si el período de capitalización es igual a 1 (uno), coincide con la tasa efectiva de la operación.
6. Marque la respuesta correspondiente en las siguientes expresiones:
a. En el régimen simple de intereses, el interés periódico es: (constante / creciente / decreciente). En consecuencia, las tasas efectivas periódicas son (constantes / crecientes / decrecientes).
b. En el descuento comercial, el descuento periódico es: (constante / creciente / decreciente). En consecuencia, las tasas efectivas periódicas de descuento son (constantes / crecientes / decrecientes).
c. El valor (máximo / mínimo) que puede tomar la tasa utilizada en una operación realizada por el descuento comercial en un régimen simple (varia proporcionalmente con la tasa de interés utilizada en la operación / depende del valor que adquiere el importe por descontar / es igual al inverso del número de períodos que tiene la operación).
4. Para poder utilizar la fórmula del monto a interés simple Cn = C0 (1 + in), la condición es:
a. Que la tasa de interés se mantenga período a período.
b. Que la tasa de interés se mantenga período a período y además los períodos tengan la misma duración.
5. En el régimen simple de interés, la expresión d / (1 – d) = i permite obtener la tasa de interés vencida equivalente a la aplicada en una operación de descuento comercial. Señale cuál es la tasa de descuento efectiva de la operación cuando n ≠ 1, si en ese caso d es una tasa nominal o efectiva y a qué se debe. Por último, explique en la relación inversa d = i / (1 + i.n), con respecto a i, cuál es la tasa efectiva y la nominal. Además, mencione en qué caso tanto d como i pueden ser tasas nominales y efectivas de una operación al mismo tiempo.
6. Un individuo retira todos los meses el interés que le produce una cuenta de ahorros y utiliza ese dinero para vivir. Por la forma en que se realiza la operación, se asemeja al régimen simple. ¿Por qué? ¿Qué tendría que ocurrir para que dicha operación se transforme en régimen compuesto?
7. El descuento racional y el comercial son dos medidas diferentes de una misma operación. ¿En qué se diferencian?
8. ¿Por qué en el vencimiento medio siempre el plazo de vencimiento cae entre los documentos que se reemplazan? ¿Por qué nunca puede caer en un extremo? ¿Cuáles son las dos variables que lo acercan más al vencimiento de alguno de los documentos que se reemplazan?
9. Responda cuál de las siguientes equivalencias son correctas:
a. Un aumento de 14 veces = 1.300 % más
b. Una disminución de 2 veces = -100 %
c. Un aumento de 10 veces = 1.000 %
10. Si el peso colombiano cotiza a 1.810 $ por dólar el 18/2/2013 y el 19/2/2013 cotiza a 1.830 $ por dólar, tuvo un aumento diario de:
a. 1 %
b. 1,10 %
2.7 Problemas
La mayoría de los problemas, cuando existe una tasa nominal como dato, han sido resueltos suponiendo un año civil de 365 días, con excepción de los problemas 11, 15 y 16. No obstante, la utilización de un año comercial o civil es una cuestión de la legislación que rige para cada contrato financiero según cada país. Utilizar un año de 360 o 365 días para las resoluciones conduce a respuestas ligeramente diferentes.
1. Se depositan 100.000 € en un banco ganando una tasa de interés efectiva mensual del 0,5 %, durante un período de 30 días. Se desea saber el monto de la operación.
Respuesta: 100.500
2. Compruebe, para la operación anterior, que el interés producido fue de 500 €, pero utilizando la fórmula del interés acumulado.
Respuesta: 500
3. Se depositaron 20.000 € durante un lapso de 45 días, pudiendo negociar una tasa nominal anual del 10 %. Calcular el monto resolviendo el ejercicio para un año de 365 días.
Respuesta: 20.246,57
4. Al cabo de 30 días se obtuvo un interés de 1.000 € por un depósito a plazo fijo realizado a una tasa del 20 % nominal anual. Se desea calcular el importe de la inversión inicial.
Respuesta: 60.833,33
5. El 1/6/2001 un popular juego infantil podía adquirirse por 400 USD. En aquel momento, el dólar cotizaba 1 $ = 1 USD, de manera que su precio también era de 400 $. El 1/1/2004 su precio en dólares había bajado a 310 USD, pero el dólar cotizaba en esa fecha a 2,95 $ por dólar. Se desea saber cuál fue el incremento porcentual en pesos y el descenso porcentual en dólares.
Respuesta: 128,6 % y −22,5 % respectivamente
6. Sabiendo que el monto de una aplicación financiera es igual a 300.000 € y que se obtuvo una tasa de interés mensual del 1 % durante un período de 12 meses, calcular el capital inicial de la operación.
Respuesta: 267.857,14
7. El interés producido por una inversión realizada hace 30 días es de 10.000 €. Calcular el capital inicial que se ha invertido sabiendo que la tasa de interés pactada fue del 22 % nominal anual.
Respuesta: 553.030,30
8. Al cabo de 45 días se obtuvo un interés de 1.000 € por un depósito a plazo fijo realizado a una tasa del 5 % nominal anual. Se desea saber el importe del depósito inicial.
Respuesta: 162.222,22
9. Se depositaron 10.000 € durante un lapso de 30 días, pudiendo negociar una tasa nominal anual del 8 %. Calcular el monto de la operación.
Respuesta: 10.065,75
10. El día 1/1/2004 se depositaron en una institución bancaria 10.000 € y se retiró el dinero el día 20/2/2004, negociando una tasa nominal anual del 8 %. Calcular el valor final de la inversión en el momento en que se la retira.
Respuesta: 10.109,59
11. En un régimen simple de interés, se depositó un capital de 10.000 € al 5 % para 30 días por un lapso de 6 meses. Se desea saber el valor final o monto de la operación total y también qué monto habría obtenido el inversor si a los 120 días hubiera retirado la suma de 500 €.
Respuesta: 13.000 y 12.450
12. Se depositaron 15.000 € durante un lapso de 45 días, y se pudo negociar una tasa nominal anual del 24 %. Calcular el valor final de la inversión en el momento en que se retira.
Respuesta: 15.443,83
13. Si ha efectuado un depósito a plazo fijo por 50 días al 24 % nominal anual de interés, y 20 días más tarde se efectuó otro con igual fecha de vencimiento, pero pactado al 22 % nominal anual. La suma de los capitales invertidos fue de 35.000 €. Se desea calcular el importe de cada uno de los depósitos, sabiendo que en el vencimiento se retiraron 35.854,80 €.
Respuesta: C1 = 15.000 y C2 = 20.000
14. Un capital de 50.000 € fue distribuido en dos inversiones efectuadas a 60 y 30 días, ya que la segunda fue efectuada 30 días más tarde. La tasa de interés nominal anual pactada fue del 6 % y el interés total que se obtuvo ascendió a la suma de 394,52 €. Se solicita determinar el importe de cada inversión.
Respuesta: 30.000 y 20.000
15. Suponga que usted tiene en su tarjeta de crédito un saldo deudor de 1.000 €. El décimo día abona 500 € y el decimosexto compra bienes por 250 € abonando siempre con la tarjeta. La tasa de interés para financiar saldos deudores es del 36 % nominal anual. ¿Cuál es el saldo de la tarjeta al cabo de 30 días y cuál es el total de intereses devengados? Haga los cálculos para un año de 360 días y tenga en cuenta que el gasto de 250 € no genera intereses en el mes en curso (que es abril del año 2012).
Respuesta: intereses devengados: 20, capital adeudado: 770
16. Con respecto al ejercicio anterior, suponiendo que el propietario de la tarjeta solamente abonó la mitad del saldo deudor a fecha de 30/04/2012, ¿cuáles serían los intereses devengados al cierre del siguiente mes, el 31/05/2012?
Respuesta: 11,93
Ejercicios de descuento simple
17. Calcule el valor presente de un documento de 100 €, que es descontado un mes antes de su vencimiento, pactando una tasa nominal de descuento del 15 % anual, en la modalidad del descuento comercial. Determine el coste financiero efectivo de la operación y luego vuelva a realizar el cálculo, pero descontando el documento por un período de 2 (dos) meses.
Respuesta: i30: 1,248 % i60: 2,52 %
18. Un título de valor nominal de 20.000 € sufrió un descuento bancario con la tasa del 8 % anual a 60 días antes de su vencimiento, y se cobró una comisión de 1,8 % sobre el valor nominal. Calcular:
a. El valor efectivo recibido por el poseedor del título, neto de la comisión.
b. El coste efectivo de la operación.
Respuesta: a) 19.376,98 b) 3,21%
19. Se descuenta un documento de 2000 € en un banco cuando faltan 35 días para su vencimiento, y se ha pactado una tasa nominal anual de descuento del 20 %. Se desea saber el valor presente del documento y el descuento que se sufre en dicha operación.
Respuesta: 1.961,64 y 38,36
20. Es común que muchos bienes y servicios se ofrezcan con un precio de lista (normalmente se puede abonar el mismo con tarjeta de crédito) y un descuento por el pago al contado. Calcule el coste financiero implícito incluido en la siguiente lista de precios, suponiendo que la liquidación de la tarjeta de crédito debería abonarla 30 días después de la compra:
| Precio contado75 | Precio lista (con tarjeta)100 |
Respuesta: 33,33 %
21. Determinar el coste efectivo de una operación de descuento de un pagaré de 100.000 € con vencimiento a los 30 días, si se recibió después de descontarlo de la suma de 80.000 €.
Respuesta: 25 %
22. Calcular el vencimiento medio de tres documentos por 6.000, 10.000 y 8.000 € con vencimiento en 9, 5 y 8 meses, siendo la tasa de interés la misma en todos los casos.
Respuesta: 7 meses
23. Una persona debe afrontar los vencimientos de los siguientes documentos (descuento comercial):
6.000 € a 30 días de plazo
4.000 € a 60 días de plazo
8.000 € a 92 días de plazo
10.000 € a 72 días de plazo
Si desea cancelar esas deudas con un único pago de 28.000 €, ¿cuál deberá ser el plazo para ese documento?
Respuesta: 67 días
24. Una deuda de 500.000 € se cancela mediante tres pagos iguales a los dos, cuatro y seis meses. Determinar el importe de cada pago, sabiendo que la tasa de valuación es del 2 % mensual de interés simple.
Respuesta: 179.835,31
25. Una compañía adquiere materias primas pagando el precio bajo la modalidad «90 días neto», que significa abonar el precio de lista a los 90 días sin ningún descuento. El proveedor ofrece una alternativa que consiste en abonar a los 30 días con una TNA de descuento del 20 %. Para aprovecharla, se estudia la conveniencia de abonarle al proveedor a los 30 días, de acuerdo con las siguientes condiciones:
a. Descuento de documentos de terceros a 60 días. Tasa nominal anual de descuento: 20 %. La entidad financiera exige mantener un saldo de apoyo en cuenta corriente equivalente al 2 % (tasa efectiva para 60 días) del valor nominal descontado.
b. Venta de documentos a una compañía financiera al 18 % nominal anual de descuento a 60 días; además, se cobra sobre el valor nominal una comisión del 3 %, gastos administrativos del 2 % y sellado del 1 %. Todos los gastos, comisiones e impuestos se abonan por adelantado.
c. Utilización de adelanto en cuenta corriente renovable cada 15 días; la tasa nominal anual de interés es del 25 %.
Se solicita determinar cuál es la alternativa más conveniente para la compañía.
Respuesta: alternativa c, con un coste financiero del 4,11 %
