Kitabı oku: «Finanzas empresariales: la decisión de inversión», sayfa 6
3.2. Anualidades, una aplicación: cronograma de pagos
¿Quién no ha tenido que comprar algo a plazos? Si tenemos el precio al contado, podemos calcular fácilmente el valor de cada cuota con la fórmula del valor presente de una anualidad si contamos con el número de cuotas y la tasa de interés. Despejando A de la fórmula del valor presente de una anualidad vencida, tenemos lo siguiente:
Si queremos comprar un televisor cuyo precio es de S/.1.500 y la tasa de interés es de 3% mensual, y deseamos pagarla en cuatro cuotas mensuales iguales, el valor de cada cuota se halla de la siguiente manera:
Cada cuota por pagar será de S/.403,54. Pero no sabemos (y muchas veces no nos interesa) qué parte de la cuota es el pago de intereses y qué parte es la amortización del préstamo.
Sin embargo, para una empresa es importante separarlos, pues los intereses son un gasto deducible para calcular las utilidades y los impuestos; y, por otro lado, necesita las amortizaciones para presentar adecuadamente el saldo de la deuda por pagar en el balance general. Para lograr esta separación, se elabora un cronograma de pagos.
Consideremos, por ejemplo, que la empresa La Agricultura Moderna S.A. desea comprar un tractor. Un proveedor norteamericano le ha ofrecido uno a un precio de US$1 millón al contado o pagar a crédito en 5 años, a una tasa estipulada del 12% que requiere pagos semestrales.
Como se requieren pagos cada 6 meses, estaríamos hablando de 10 cuotas o períodos en total. Como la tasa estipulada anual es 12% la tasa que se debe aplicar por semestre será de 12/2 = 6%22.
Cada cuota sería de:
Con esta cuota, el precio y la tasa semestral, elaboramos el cronograma de pagos que se muestra en el cuadro 3.2. Observa que se han considerado anualidades vencidas.
Cuadro 3.2 Cronograma de pagos de cuotas iguales
| Período | Saldo | Cuota | Interés | Amortización | Nuevo saldo |
| 1 | 1.000.000 | 135.868 | 60.000 | 75.868 | 924.132 |
| 2 | 924.132 | 135.868 | 55.448 | 80.420 | 843.712 |
| 3 | 843.712 | 135.868 | 50.623 | 85.245 | 758.467 |
| 4 | 758.467 | 135.868 | 45.508 | 90.360 | 668.107 |
| 5 | 668.107 | 135.868 | 40.086 | 95.782 | 572.325 |
| 6 | 572.325 | 135.868 | 34.340 | 101.528 | 470.797 |
| 7 | 470.797 | 135.868 | 28.248 | 107.620 | 363.176 |
| 8 | 363.176 | 135.868 | 21.791 | 114.077 | 249.099 |
| 9 | 249.099 | 135.868 | 14.946 | 120.922 | 128.177 |
| 10 | 128.177 | 135.868 | 7.691 | 128.177 | 0 |
Fuente: elaboración propia.
La cuota por pagar cada seis meses es US$135.867,96. Durante el primer semestre, el monto de la deuda es US$1.000.000, por lo que el interés generado es 0,06 x US$1.000.000 = US$60.000. Al deducir el interés de la cuota, la amortización del primer período es US$75.868, lo que hace que, al final del primer período, el saldo de la deuda se reduzca a US$924.132,04. Este saldo final del primer semestre es, a su vez, el saldo inicial del segundo semestre y el monto de la deuda durante este segundo período. Los intereses del segundo período son 0,06 x US$924.132,04 = US$55.447,92. Si restamos la cuota mensual menos intereses, obtenemos US$80.420,04 de amortización, lo que lleva a un saldo final de la deuda de US$924.132,04 – US$80.420,04 = US$843.712,01. Este resultado es el saldo inicial del tercer semestre. El procedimiento continúa así sucesivamente hasta completar los diez semestres.
Nota que los montos de intereses van bajando y la amortización va subiendo con el paso de los períodos.
En la columna de intereses, tenemos los montos de intereses que corresponden a cada año. Para el estado de pérdidas y ganancias del segundo año, por ejemplo, se tendría un gasto por intereses de US$55.477,92, producido por la financiación de la adquisición del tractor.
Sin embargo, a veces pagamos cuotas mensuales iguales y, en un préstamo a 10 años, tendríamos 120 períodos. Si necesitáramos solo el dato de los intereses en el período 100, hacer la tabla sería engorroso. Para ello, es más práctico aplicar la siguiente fórmula:
Amortizaciónperíodo «n» = Amortizaciónperíodo 1 (1 + r)n-1
En nuestro cronograma, si quisiéramos calcular la amortización e intereses del período 8, tendríamos:
Amortización período 1 = US$75.868
r = 0,06
n – 1 = 8 – 1 = 7
Amortizaciónperíodo 8 = US$75.868(1 + 0,06)7 = US$114.077
Por diferencia con la cuota constante, podemos hallar los intereses.
Otra posibilidad de pago, en vez de cuotas totales iguales, es la de hacer amortizaciones iguales y las cuotas totales van bajando con el transcurrir de los pagos. En nuestro ejemplo, la amortización de cada período sería US$1.000.00/10 = US$100.000 por semestre. El cronograma de pagos sería el que se muestra en el cuadro 3.3.
Cuadro 3.3 Cronograma con amortizaciones iguales
| Período | Saldo | Amortización | Interés | Cuota | Nuevo saldo |
| 1 | 1.000.000 | 100.000 | 60.000 | 160.000 | 900.000 |
| 2 | 900.000 | 100.000 | 54.000 | 154.000 | 800.000 |
| 3 | 800.000 | 100.000 | 48.000 | 148.000 | 700.000 |
| 4 | 700.000 | 100.000 | 42.000 | 142.000 | 600.000 |
| 5 | 600.000 | 100.000 | 36.000 | 136.000 | 500.000 |
| 6 | 500.000 | 100.000 | 30.000 | 130.000 | 400.000 |
| 7 | 400.000 | 100.000 | 24.000 | 124.000 | 300.000 |
| 8 | 300.000 | 100.000 | 18.000 | 118.000 | 200.000 |
| 9 | 200.000 | 100.000 | 12.000 | 112.000 | 100.000 |
| 10 | 100.000 | 100.000 | 6.000 | 106.000 | 0 |
Fuente: elaboración propia.
3.3. Opciones para calcular el valor del dinero en el tiempo
Hasta ahora hemos estado usando ecuaciones que, cuando se posee una calculadora capaz de elevar potencias, son de manejo relativamente fácil.
Una segunda opción es el uso de calculadoras financieras que tienen las funciones (o fórmulas) incorporadas y lo que se tiene que hacer es ingresar los datos siguiendo las instrucciones del manual de la calculadora. Una opción semejante sería usar las funciones del Excel en un computador.
Sin embargo, si no tienes dinero para una buena calculadora o simplemente no tienes una a la mano, te queda un recurso muy barato y muchas veces más rápido: las tablas del valor del dinero en el tiempo.
Observa las distintas fórmulas que hemos usado hasta ahora. Si consideramos la suma de dinero igual a 1 sol o 1 unidad monetaria y variamos la tasa de interés y los períodos de tiempo, obtendremos los factores de valor futuro o de valor presente. Luego, ubicado el factor correspondiente, lo multiplicamos por la suma de dinero de que se trate y obtendremos la respuesta que buscamos. Afortunadamente, no tenemos que elaborar dichas tablas. Alguien ya lo ha hecho anteriormente para nosotros y algunas de ellas se presentan al final del libro. Ilustremos su uso con un ejemplo.
Supongamos que queremos hallar el valor presente de una anualidad de S/.20.000 que se recibieron al final de cada uno de los siguientes 8 años considerando una tasa de 5% anual.
Cuadro 3.4Extracto de la tabla de valor presente de US$1 recibido al final de cada uno de los «t» períodos
| Período/Tasa | 1% | 2% | 3% | 4% | 5% | 6% | 7% |
| 1 | 0,9901 | 0,9804 | 0,9709 | 0,9615 | 0,9524 | 0,9434 | 0,9346 |
| 2 | 1,9704 | 1,9416 | 1,9135 | 1,8861 | 1,8594 | 1,8334 | 1,8080 |
| 3 | 2,9410 | 2,8839 | 2,8286 | 2,7751 | 2,7232 | 2,6730 | 2,6243 |
| 4 | 3,9020 | 3,8077 | 3,7171 | 3,6299 | 3,5460 | 3,4651 | 3,3872 |
| 5 | 4,8534 | 4,7135 | 4,5797 | 4,4518 | 4,3295 | 4,2124 | 4,1002 |
| 6 | 5,7955 | 5,6014 | 5,4172 | 5,2421 | 5,0757 | 4,9173 | 4,7665 |
| 7 | 6,7282 | 6,4720 | 6,2303 | 6,0021 | 5,7864 | 5,5824 | 5,3893 |
| 8 | 7,6517 | 7,3255 | 7,0197 | 6,7327 | 6,4632 | 6,2098 | 5,9713 |
| 9 | 8,5660 | 8,1622 | 7,7861 | 7,4353 | 7,1078 | 6,8017 | 6,5152 |
| 10 | 9,4713 | 8,9826 | 8,5302 | 8,1109 | 7,7217 | 7,3601 | 7,0236 |
Fuente: elaboración propia.
En la intersección de la fila del período 8 y la tasa de descuento de 5 , leemos el factor de valor presente de una anualidad FVPA (5 , 8 años) = 6,4632. El valor presente de S/.20.000 recibidos en los 8 años es S/.20.000 x 6,4632 = S/.129.264.
Al final del libro, se presentan las siguientes tablas:
FVF: factores del valor futuro de S/.1 recibido dentro de «t» años
FVP: factores del valor presente de S/.1 recibido dentro de «t» años
FVFA: factores del valor futuro de una anualidad
FVPA: factores del valor presente de una anualidad
El uso de estas tablas es semejante al ejemplo que hemos mostrado. Lo importante es no equivocarse de tabla.
El inconveniente con las tablas es que están elaboradas para un determinado número de años y tasas de descuento. Por ejemplo, si la tasa de descuento fuera 8,4% , no la podríamos encontrar en la tabla. Se podría aproximar interpolando entre 8% y 9 , pero se volvería un procedimiento engorroso, y optaríamos por usar las fórmulas y la calculadora.
3.4. Anualidades crecientes
Una anualidad creciente es un flujo de caja que cada período crece a una tasa constante durante un lapso de tiempo determinado. Asume, por ejemplo, que has alquilado un departamento de tu propiedad a una empresa por US$15.000 anuales durante 5 años. Para protegerte de la inflación, has negociado que el alquiler se aumente a una tasa del 4% anual; la tasa de descuento es del 12%. ¿Cuál es el valor presente de ese flujo de caja?
Es decir:
Lo que se puede reducir a la siguiente expresión:
donde S/.15.000 es el alquiler actual tomado como base para calcular el flujo creciente de los 5 años siguientes; 4%, la tasa de crecimiento de dichos flujos; y 12%, la tasa de descuento.
Generalizando, obtenemos la siguiente fórmula:
donde:
A: anualidad base (hoy)
g: tasa de crecimiento
r: tasa de descuento
t: período de tiempo
Observa que el valor presente crecerá si la tasa de crecimiento aumenta y disminuirá si la tasa de descuento aumenta. Fíjate también que la fórmula no es válida cuando g = r (0/0). En este caso, el crecimiento del flujo es exactamente compensado por el descuento. En nuestro ejemplo numérico del alquiler del departamento, si la tasa de descuento fuera 4 , se tendría como valor presente el siguiente valor:
VPAC = 15.000 + 15.000 + 15.000 + 15.000 + 15.000
VPAC = 15.000 x 5 = 75.000
Entonces, la fórmula se reduce a la siguiente expresión: VPAC = A x t, cuando r = g
3.5. Perpetuidades
Examinemos nuevamente la fórmula del valor presente de una anualidad:
¿Qué pasaría si pudiéramos recibir eternamente la suma A? Una anualidad que se recibe por siempre es una perpetuidad. Es decir, el período t = ∞ y tendríamos:
El término 
se reduce a cero y
Un ejemplo de perpetuidad es el bono consol23 en que se paga un cupón (cuota) por siempre al tenedor del bono. Si el cupón fuera S/.100 anuales y la tasa de descuento fuera 10 , el valor presente de esa corriente de efectivo será:
Otro ejemplo son las acciones preferentes que pagan un dividendo fijo y no tienen fecha de vencimiento. Si el dividendo fuera S/.20 anuales y la tasa de descuento fuera 10 , el valor presente sería el siguiente:
Perpetuidad creciente
Es una perpetuidad en la que el flujo de caja crece cada período a una tasa constante. Para estimar el valor presente de una perpetuidad creciente, regresemos a la fórmula de la anualidad creciente:
Al hacerse «t» infinito, el término 
tiende a cero si r > g.
Y tendríamos la siguiente fórmula para hallar el VP de una perpetuidad creciente:
donde:
A: flujo actual (al final del año 0)
r: tasa de descuento
g: tasa de crecimiento
La perpetuidad creciente es usada para valorar acciones de empresas que se considera crecerán por siempre y podrán pagar dividendos a una tasa de crecimiento constante a perpetuidad24. La fórmula del valor presente de esa corriente de dividendos será la siguiente25:
donde D0 es el dividendo actual; g, la tasa de crecimiento de los dividendos; y r, la tasa de descuento.
Si el dividendo actual es S/.10 y se espera que crezca al 5% anual, y se tiene una tasa de descuento de 10%, el valor presente de los dividendos es:
15 El tema de la distribución intertemporal del consumo se verá en el capítulo IV cuando se analice la validez del criterio de inversión denominado «valor presente neto»
16 2 Lo que implicaría una tasa real de interés. Si, además de esa tasa, consideráramos la inflación, se tendría la tasa nominal del interés. Las relaciones entre estas tasas se explicarán en el capítulo V.
17 El tema de riesgo (incertidumbre) se examinará exhaustivamente en la segunda parte del libro.
18 Lo que sería equivalente a decir que la tasa de interés es igual a cero.
19 Se suele usar el término «tasa de interés» para llevar valores presentes al futuro y «tasa de descuento» para traer flujos futuros al presente; sin embargo, cuantitativamente, puede tratarse de la misma tasa.
20 En nuestro medio, se suele llamar a la tasa estipulada anual (TES) «tasa nominal», lo que podría generar confusión, puesto que este término se utiliza en un contexto en que se considera la inflación: tasa nominal vs. tasa real.
21 La derivación de esta y otras fórmulas se presenta en el apéndice de matemáticas financieras al final de este libro.
22 Si, en vez de la tasa estipulada anual del 12 , se quisiera cobrar una tasa efectiva anual del 12 , la tasa semestral sería 5,83% [(1 + 0,12)1/2 – 1 = 0,0583].
23 El caso del bono consol se trata en el capítulo V
24 El tema de las acciones se verá en el capítulo VI.
25 D0(1 + g) es el dividendo D1 en el año 1, por lo que la fórmula también se expresa como D1/(r – g).
Ejercicios propuestos
1 Usted ha ganado en un sorteo que auspicia una empresa de productos lácteos y le dan la oportunidad de elegir uno de los siguientes premios:US$200.000 ahoraUS$360.000 al cabo de 5 añosUS$22.800 al año por siempreUS$38.000 durante cada uno de los próximos 10 añosSi usted sabe que dicho dinero podría rendir 12% en un banco, ¿cuál es el premio más valioso?
2 Dentro de 75 días, usted tiene que pagar una cantidad de US$12.500. ¿Qué monto necesita hoy tal que, colocado a una tasa de interés simple del 6,5% mensual, le permita pagar la deuda?
3 ¿Qué interés habrá generado un capital de US$60.000 depositado durante un año:a una tasa de interés simple del 5% anual?a una tasa de interés simple del 8% mensual?a una tasa de interés simple del 25% trimestral?
4 ¿Qué interés habrá generado un capital de US$50.000 depositado:a una tasa de interés simple del 5% anual durante 7 meses?a una tasa de interés simple del 8% mensual durante 63 días?a una tasa de interés simple del 25% trimestral durante 30 días?
5 Calcule la tasa efectiva anual si la tasa es:18% nominal con capitalización trimestral6% efectiva semestral
6 Si la tasa efectiva anual es 20% , calcule:La tasa que se debe aplicar bajo capitalización mensualLa tasa que se debe aplicar bajo capitalización semestral
7 Tripley le ofrece dos formas de pago para sus compras. Bajo la forma de pago a plazos, usted paga un 25% de cuota inicial y, en cada uno de los siguientes meses, el 25% del «precio» de compra (llamado, muchas veces, «precio de lista» o «precio de contado»). Si usted paga la totalidad de la factura inmediatamente, recibirá un 10% de descuento sobre el precio de compra. Haga sus cálculos para un precio de lista de US$20.000.¿Cuál es la mejor alternativa si usted puede pedir prestados fondos a un banco al tipo de interés del 16% (TEA)?¿Cambia su respuesta si los pagos de los 4 meses del plan a plazos no empiezan sino hasta dentro de un mes (es decir, la cuota inicial se paga dentro de 1 mes)?
8 Usted acaba de ganar US$5.000. ¿Cuánto dinero tendrá al cabo de 10 años si lo invierte a un interés anual efectivo del 6%?
9 Si la hipoteca no pagada de su casa en 10 años será de US$89.550, ¿cuánto dinero tiene que invertir anualmente al 6% para tener exactamente esta cantidad disponible al final del décimo año?
10 Usted piensa ahorrar US$5.000 de sus utilidades al final de cada año durante los siguientes ¿Cuánto dinero tendrá al final del décimo año si invierte sus ahorros al 12% de interés compuesto anual?
11 Una máquina es vendida al crédito con una cuota inicial de S/.2.000 y 12 cuotas de S/.300 cada una, pagaderas cada 30 días. La alternativa es comprarla al contado a S/.5.000. Muestre si conviene comprar al crédito si es que se tiene una tasa efectiva anual del 9%.
12 Se planea reemplazar una máquina dentro de 4 meses, cuyo precio se estima que en dicha fecha será de S/.5.000. ¿Qué importe constante deberá depositarse en un banco a fin de cada mes para poder comprar dicha máquina con los ahorros resultantes? El banco paga una tasa efectiva trimestral del 5 .
13 Un familiar muy cercano está planeando su jubilación para dentro de 30 años. Por ello, le solicita que realice los cálculos necesarios con la finalidad de conocer cuánto debe depositar mensualmente en su cuenta de ahorros, de tal forma que reciba durante 15 años la cantidad de US$10.000 anuales, considerando que la tasa de interés en soles es de 14,839% anual y su capitalización es trimestral.
14 Usted tiene US$30.000 y desea comprar una casa. El banco le puede otorgar un préstamo a una tasa efectiva anual de 18% por un plazo de 10 años con pagos mensuales iguales. Usted ha revisado sus ingresos y no puede pagar más de US$700 mensuales. ¿Cuál es el precio máximo de la casa que puede comprar?
15 Usted puede comprar un artefacto a «precio contado» en 5 cuotas mensuales de US$200. Sin embargo, si paga al cash, se lo dan a US$800. ¿Cuál es la tasa efectiva anual si paga por partes?
16 ¿A qué tasa de interés efectiva anual un capital de S/.25.000 se habrá convertido en un monto de S/.26.500 si dicho capital fue colocado a 5 meses?
17 En una tienda comercial, se encuentra el siguiente aviso: «Compre al contado y páguelo en tres cuotas mensuales fijas de US$300». La primera cuota mensual sería pagadera en el instante de realizar la compra. Sin embargo, al entrar en conversaciones con los agentes vendedores, se obtiene un «descuento» por pago al cash de US$50. ¿Cuál es la tasa de interés que se está cobrando en las operaciones al crédito?
18 Harriet quiere ahorrar cada fin de mes un determinado monto durante 3 años para luego de ello colocar todo lo que habría acumulado en un depósito más seguro, el cual le ofrece una tasa de 2,5% efectiva mensual y, así, poder recibir una cantidad de S/.500 cada fin de mes por el resto de su vida. Si el banco le ofrece una tasa nominal anual de 61,5% con capitalización bimestral, ¿cuál es el monto que debe depositar cada fin de mes para poder cumplir con su objetivo?
19 Se estima que la esperanza de vida de una persona es llegar a los 80 años de edad. En la actualidad, Juan Pérez tiene 25 años y desea conocer cuánto debe depositar ahora con la finalidad de poder recibir, durante 20 años (a partir de los 60 años de edad), una cantidad fija de US$1.000 mensuales. Para ello, un banco le ha hecho saber que, para este tipo de operaciones, está ofertando una tasa de interés de 8% anual, la cual, para fines del problema, se supone constante para el período de análisis. Si fuera necesario, plantee sus supuestos y comente.
20 Sus papás le hacen la siguiente oferta: le darán US$500 al final de cada 6 meses por los siguientes 5 años si usted accede a pagarles 500 cada 6 meses por los siguientes 10 años a partir de que ellos le dejen de dar dinero. ¿Debería aceptar su generosa oferta si la tasa de interés es del 18% anual?
21 ¿Qué monto debería depositar una persona mensualmente (cada fin de mes) en su cuenta corriente por los próximos 40 años para que, al final del último depósito, pueda recibir a partir del próximo mes US$1.000 mensuales durante 20 años? Asuma una tasa de interés de 12% efectiva anual.
22 Acogiéndose a un programa de incentivos por retiro voluntario, un trabajador ha reunido un determinado capital, el cual piensa colocar en el banco Z. La tasa ofrecida es de 10% efectiva anual.¿Qué importe deberá colocar para disponer cada fin de mes de una renta de S/.2.000 en forma indefinida?¿Qué importe debe colocar para disponer cada fin de mes de una renta de S/.2.000 por los siguientes 30 años?Nota: explique por qué la diferencia entre los dos resultados es relativamente pequeña.
23 Acaba de ser contratado por una prestigiosa empresa como gerente de finanzas. Al negociar su contrato, el Directorio le presenta dos opciones de sueldo entre las cuales debe elegir: le pueden pagar US$40.000 al año durante los próximos 2 años (opción1) o US$20.000 al año durante el mismo período más una prima de US$30.000 que se le entregaría el día de hoy (opción 2). Si la tasa de descuento es 14 , ¿qué opción le conviene más?
24 Dos alumnos del curso Integrador 1 necesitan S/.50.000 para financiar su Idea de Negocio y, así, convertirse en prósperos empresarios. Los alumnos se acercaron hoy al banco para solicitar el préstamo requerido que será pagado con los flujos de caja que genere el proyecto una vez este haya sido implementado. Por tal motivo, solicitan al banco que el préstamo sea pagado en 30 cuotas anuales.Indique la cuota y elabore el cronograma de pagos si el costo anual del financiamiento es de 4,04 .
25 Los esposos Brind han decidido, después de muchos años, poner todo su dinero (US$50.000) en el banco. Según Brandon Brind, el mejor banco es el Banco Ferradas, dado que ofrece una tasa nominal anual del 12% con capitalización bimestral; mientras que su esposa Bonnie confía mucho en el Banco Campanas, el cual ofrece una tasa efectiva semestral del 8 . En vista de que ambos son muy tercos, cada uno depositóparte del dinero en el banco de su elección. El dinero fue distribuido de la siguiente manera: el 60% para Brandon y el resto del dinero para Bonnie. Si ambos depositan el dinero el mismo día en su respectivo banco, ¿a cuánto asciende su capital al cabo de seis meses? ¿Quién tenía razón si ambos bancos son de igual riesgo?
26 Julito termina en diciembre la universidad y va a empezar a trabajar como practicante en una empresa. Su principal objetivo es ahorrar S/.20.000 para poder ir a visitar a su novia que vive en España. Julito sabe que la empresa generalmente contrata durante un año a un egresado y luego lo contrata como asistente a un sueldo mayor. A partir de enero, Julito trabajará en esa empresa con un sueldo de S/.1.000 cada fin de mes. Julito trabaja muy bien, por lo que está seguro de que lo van a contratar como asistente; el sueldo de asistente asciende a S/.1.500 cada fin de quincena. Si Julito abre una cuenta en el banco el día que le pagan su primer sueldo (fines de enero del 2004), en la cual depositará todo lo que le pagan menos lo que gasta (S/.250 quincenalmente), ¿cuándo podrá viajar a visitar a su novia? (considere una tasa nominal de 6% anual con capitalización trimestral).
27 La señorita Belén debió cancelar S/.8.000 y S/.10.000 hace 30 y 10 días respectivamente. Asimismo, deberá cancelar, dentro de 20 y 35 días, S/.9.000 y S/.5.000 respectivamente. Belén desea refinanciar todas sus deudas a una sola y, a partir de hoy, empezarlas a cancelar cada fin de mes en 5 cuotas iguales.La tasa aplicada para las deudas vencidas es del 24% semestral con capitalización cada 20 días y la tasa para las deudas por vencer es del 1% quincenal con capitalización semanal. Asuma que todos los meses son de 30 días y que cada semana tiene 7 días (las deudas vencidas que son traídas a valor actual se consideran como no vencidas). Estructure el cronograma de pagos.
28 Una amiga está celebrando su cumpleaños número 35 hoy día y quiere empezar a ahorrar para su retiro anticipado a la edad de 65 años. Ella quiere retirar US$15.000 por doce años consecutivos cada vez que cumpla años luego de su retiro; es decir, el primer retiro se realizará en su cumpleaños número 66 y así sucesivamente por 12 años. Colocará su dinero en un banco local que le asegura una tasa fija de 9% anual y quiere que los depósitos a su fondo de jubilación se realicen de forma anual e igual. Si empieza a realizar estos depósitos en su cumpleaños número 36 y continúa haciéndolos hasta que cumple 65 años, ¿qué monto deberá depositar anualmente para lograr su objetivo de poder retirar US$15.000 por 12 años luego de su retiro?
29 Suponga ahora que su amiga ha heredado simplemente una suma grande de dinero. En lugar de hacer los pagos anuales iguales, ha decidido hacer un pago único en su cumpleaños número 36 para lograr su fondo de jubilación. ¿Qué cantidad tendría que depositar?
30 Usted desea adquirir un televisor de 250 pulgadas y la única casa comercial que dispone de tan moderna tecnología es una casa importadora. Usted está dispuesto a utilizar su tarjeta de crédito, la cual ofrece una tasa de interés de 5% efectiva mensual. Sin embargo, cuando acude a la tienda, esta la ofrece financiamiento interno por 24 cuotas mensuales de US$2.226 (cada fin de mes a partir de la fecha). Se sabe que el precio al contado del televisor es de US$20.000. Actualmente, usted no cuenta con la totalidad del dinero, pero está decidido a concretar la transacción al menor costo financiero. ¿Cuál es la mejor alternativa?
31 Usted tiene la posibilidad de adquirir un vehículo que se encuentra «de ocasión». La empresa Chatarra S.A., que vende este tipo de vehículos, le brinda las siguientes oportunidades:Compra al contado: US$11.500 Compra al crédito: US$26.400 Cuota inicial: US$2.400 Saldo: US$24.000, que puede cancelarse de las siguientes formas:Alternativa a: 30 cuotas mensuales de US$800Alternativa b: 60 cuotas mensuales de US$400Usted puede conseguir un préstamo del banco con una tasa nominal de 24% con capitalización mensual.Con esta información, ¿qué tasa de interés le está cobrando la empresa por el crédito que le ofrece? ¿Cuál de estas alternativas escogería? Comente.
32 Después de haber terminado sus estudios en una prestigiosa universidad limeña, Rafael decide que es momento de planificar su futuro. Para ello, tiene pensado trabajar en una empresa transnacional por un período de dos años e inmediatamente después dirigirse a Estados Unidos donde realizará una maestría en finanzas corporativas de tres años de duración. Rafael ya planificó cómo pagar sus estudios y ha decidido que, durante todos los meses que trabaje en el Perú, ahorrará un porcentaje fijo de su sueldo en un banco internacional. Además, ha decidido que, debido a la exigencia de la maestría,no deberá trabajar mientras estudie. Por otro lado, los padres de Rafael han decidido ser solidarios y se han comprometido a continuar con los depósitos de Rafael una vez que él termine de trabajar. El último depósito se llevará a cabo el último mes de la maestría.Determine el porcentaje del sueldo que Rafael debe ahorrar si:El costo mensual de la maestría es de US$1.200.El sueldo de Rafael durante el tiempo que trabaje será de US$1.000 cada mes.Rafael desea contar con un saldo en el banco de US$1.000 al final de la maestría.El banco paga una tasa nominal anual de 6% con capitalización trimestral.
33 Una empresa que tiene una deuda de US$10 millones de manera contractual está obligada a realizar pagos fijos mensuales durante los siguientes 5 años a una tasa del 14% anual. La empresa se acerca al banco para hacerle una oferta de reestructura, ya que en el momento se encuentra con problemas de liquidez. La empresa ha expresado que solo puede pagar un monto de US$200.000 mensual durante los siguientes 7 años o bien no pagar nada hasta dentro de 5 años, ofreciendo un pago de US$14 millones.Si usted es el ejecutivo de cuenta y tiene que sugerir al comité de crédito la mejor opción (asumiendo que el riesgo crédito es igual):¿Qué esquema de pago sugeriría y por qué?¿De cuánto tendría que ser el pago mensual durante los 7 años, de tal forma que el banco estuviera indiferente entre las condiciones del crédito original y la reestructura?¿Cuál sería la tasa de interés anual que haría que el banco estuviese indiferente entre las condiciones del crédito original y los pagos mensuales a 7 años?
34 Acogiéndose a un programa de incentivos por retiro voluntario, un trabajador ha reunido un determinado capital que piensa colocar en el banco Z. La tasa ofrecida es de 10% efectiva anual.¿Qué importe deberá colocar para disponer, cada fin de mes, de una renta de S/.2.000 en forma indefinida?¿Qué importe deberá colocar para disponer, cada fin de mes, de una renta de S/.2.000 por los siguientes 30 años?Nota: explique por qué la diferencia entre los dos resultados es relativamente pequeña.
