Kitabı oku: «Métodos numéricos», sayfa 2

Capítulo 2
Preliminares

La ingeniería es indispensable en la sociedad. Los resultados de su importancia se evidencian en la historia de la humanidad. Desde los acueductos romanos, el perfeccionamiento de todo tipo de herramientas, las vías de comunicación, hasta los logros actuales en la exploración espacial, las comunicaciones, entre muchos otros. La ingeniería es una de las disciplinas que más ha evolucionado y sobre la cual el hombre fundamenta su desarrollo. El ingeniero, con el uso de las ciencias exactas, los conocimientos tecnológicos y naturales y el reconocimiento del contexto resuelve los problemas que resultan de la interacción del hombre con su entorno; aplica con juicio crítico métodos y estrategias para desarrollar diversas formas de utilizar, de manera económica, las fuerzas y materiales de la naturaleza y del mundo artificial en beneficio de la humanidad. El ingeniero ofrece soluciones a los problemas materiales del bienestar de la sociedad produciendo bienes y servicios.

Los ingenieros, para cumplir con su actividad, desarrollan y utilizan modelos matemáticos cuyas soluciones deben tener sentido y ser acordes con los conocimientos científicos involucrados en la situación que se va a modelar. En algunos casos, para obtener la solución a un problema, es necesario realizar demasiados cálculos, redefinir los modelos para que la solución sea alcanzable, utilizar el computador como herramienta de cálculo, todo ello bajo las condiciones de calidad exigidas por el problema. Una de las herramientas fundamentales para el cumplimiento de estas tareas es el análisis numérico.

Pretendemos que el lector: Disponga de una visión holística del alcance del texto. Reconozca las características del análisis numérico. Establezca una relación entre los conceptos de métodos numéricos y computación científica.

El análisis numérico es el estudio de algoritmos para los problemas de matemáticas continuas (Trefethen, 1993).

Los métodos numéricos permiten resolver problemas matemáticos mediante la utilización de operaciones aritméticas (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones). Como consecuencia:

1. Los métodos se definen mediante un conjunto de operaciones que se repiten de forma continua y sistemática.

2. Es posible asociar un algoritmo a cada conjunto de operaciones.

3. Las operaciones involucradas permiten el uso de herramientas de cálculo tales como las calculadoras, computadores, personal digital assistant (PDA) y otros tipos de dispositivos similares que hoy en día son cada vez más sofisticados.

4. Por lo general, la cantidad de cálculos necesarios para obtener la solución a un problema es muy alta, y es inadecuado y a veces imposible realizarlos manualmente.

5. En general, el método que surge como solución al problema define un algoritmo que además permite resolver otros problemas con características similares. Es decir, con el mismo algoritmo se pueden resolver problemas con modelos que matemáticamente se asimilan al método.

6. El computador es el dispositivo por excelencia para la solución de problemas mediante métodos numéricos.

7. Se presentan soluciones discretas y/o truncadas a problemas de matemática continua.

8. Se encuentran soluciones a problemas que por métodos analíticos no se pueden hallar.

Desde finales de la década de los cuarenta del siglo xx, con el crecimiento y disponibilidad de los computadores digitales, se ha generado una explosión en el uso y desarrollo de técnicas numéricas, a pesar de que éstas ya existían y se utilizaban para cálculos numéricos en diferentes campos de aplicación. Con la aparición, el desarrollo vertiginoso y la disponibilidad cada vez mayor de los equipos de cómputo y con la accesibilidad de la información a través de la internet ha aumentado el uso, proliferación y surgimiento de métodos numéricos cada vez más potentes y adecuados.¹

En el proceso de formación de un ingeniero y en su vida profesional, el análisis numérico es de suma importancia. Los métodos numéricos son herramientas poderosas en la solución de problemas, ya que permiten resolver aquellos de gran dimensión y con geometrías más complicadas, y dan soluciones algorítmicas y aproximadas a problemas cuyos modelos matemáticos se basan en la matemática continua. A menudo, la solución se obtiene mediante la discretización y/o truncamiento de la solución analítica. A pesar de que los métodos numéricos brindan solución a problemas que por vías analíticas no tienen solución, desde el punto de vista práctico este hecho no es importante debido a que lo que se pretende desde la formulación del problema es hallar la “solución aproximada”. El ingeniero no se preocupa por estas situaciones; simplemente busca una solución que cumpla adecuadamente con las condiciones del problema.

Para la solución de problemas que involucren modelos matemáticos que puedan resolverse por medio de los métodos numéricos, se requiere del conocimiento de la teoría básica en la que se basan estos métodos y el modelo matemático correspondiente, así dispongamos de un software para ello. El ingeniero debe estar preparado para diseñar y utilizar programas que resuelvan problemas, teniendo en cuenta todos los elementos referentes a la calidad de las soluciones obtenidas.

El conocimiento y utilización del análisis numérico permiten reforzar la formación matemática del estudiante, y el uso de los métodos numéricos es una herramienta para mejorar la comprensión de los problemas en relación con los métodos de solución, los cálculos, los cómputos numéricos y el análisis de la solución obtenida.

Para lograr una mejor comprensión del alcance y el papel del análisis numérico en la solución de problemas, detallamos cada una de las etapas que intervienen en la solución de un problema.

2.1 Una primera mirada al análisis numérico

Al finalizar esta sección, el lector podrá reconocer el alcance del texto y su importancia frente al proceso de formación. Para ello, presentamos una introducción al objeto de estudio del análisis numérico.

Supongamos que pretendemos resolver un problema que se presenta en el mundo cotidiano, cuyas características obligan a que sea un ingeniero quien enfrente su solución. La Figura 1 muestra una estructura global de los pasos que se realizan para la solución de dicho problema. Con ello lograremos identificar de forma general las etapas que intervienen en la solución de un problema y determinar el papel del análisis numérico en este proceso. Es de notar que estas fases no se siguen de forma secuencial y estricta, en el sentido de que para ejecutar una fase se haya agotado la previa. Por el contrario, es común y recomendable que el analista revise continuamente cada fase, observando de forma sistémica el problema y sus fases de solución, de tal manera que se valide cada resultado obtenido y se garantice congruencia y calidad en el proceso y en la solución.

Actividad 1. Para complementar y profundizar esta sección recomendamos utilizar el sistema interactivo de apoyo. El tema correspondiente es “Introducción general” del Capítulo 1.

Figura 1. Etapas en la solución de un problema

2.1.1 Problema

Supongamos una situación concreta en un espacio y tiempo específicos. Cada problema lo entenderemos como un sistema, es decir, como un conjunto de objetos que interactúan entre sí, dinámicamente y con un objetivo. En este sentido, el problema en cuestión lo miramos con todos los elementos que lo componen y las respectivas interacciones entre ellos. El problema se mira como un todo con sus partes. El proceso de análisis permite establecer categorías entre cada uno de los elementos que componen el sistema. Cuando se precisa el contexto del problema, se definen los componentes que son más relevantes y cuáles pueden ser eliminados para obtener un sistema más simple que reproduzca completamente las características del problema. Podemos citar ejemplos como:

1. Diseño un sistema de información para manejar la nómina de una empresa. Un ingeniero de sistemas debe reconocer todos los elementos que intervienen en el sistema: número de trabajadores, número de sedes, productos que comercializa, formas de pago, jornadas laborales, filiales, vínculos empresariales. Ya el lector se preguntará: ¿Qué tienen que ver los vínculos que tiene la empresa con un sistema que administre su nómina? Puede que nada, pero si la empresa realiza descuentos por nómina debido a negocios de sus empleados con otras empresas que se relaciona, sí son importantes. En la solución de los problemas hay elementos o componentes que son relevantes y otros que no lo son.

2. Construcción un puente. De forma similar al ejemplo anterior, son muchos los elementos que debemos conocer: características geográficas, tipo de suelo, accesibilidad al lugar, cantidad de tierra que se va a mover, disponibilidad de recursos, etc. Un factor de riesgo es no haber considerado algún elemento que puede convertirse en relevante; por ejemplo, los problemas de seguridad.

3. Caída libre de un paracaidista. Tal como lo expresan Chapra y Canale (2007), los factores que se consideran en este tipo de problemas son: una fuerza ejercida por la gravedad y otra opuesta debido a la resistencia del aire. Sin embargo, existen otros elementos que pueden llegar a ser relevantes en el momento de la caída: vientos, lluvias, tormentas eléctricas, etc.

En el estudio de un problema intervienen muchos elementos (la realidad es compleja), y algunos son desechados porque no son importantes para la solución. Es decir, el estudio del problema incluye procesos de simplificación de la realidad, en el sentido de que se establece lo relevante y se desechan aquellos elementos que –a consideración de quien resuelve el problema– no son de importancia ni afectan la solución del mismo.

Este proceso de análisis y síntesis conduce al ingeniero a la construcción de un modelo del problema en el cual puede centrar la atención en aspectos esenciales del fenómeno según los requerimientos establecidos, e identificar las variables y constantes relevantes, así como las relaciones entre ellas. Para obtener una solución adecuada, se responden algunas preguntas de forma sistémica, por ejemplo: ¿La información producida es razonable? ¿Las hipótesis definidas en el proceso de análisis y síntesis son razonables? ¿Hay factores, elementos o situaciones que no fueron tenidos en cuenta en el proceso de simplificación que afectan los resultados deseados del problema? ¿Disponemos de datos reales que permitan confrontar los resultados del modelo?

2.1.2 Modelo

En términos generales, un modelo –de un problema o situación– es una idealización que presenta una abstracción que permite referirse al problema, sus propiedades y componentes. El modelo es visto como una síntesis de la realidad, que habla de ella misma. De acuerdo con las necesidades y condiciones del problema, el modelo puede llegar a ser muy simple, en el sentido de que el problema se explica con pocos elementos y se eliminan muchos de sus componentes por considerarlos poco relevantes. Así, un mismo modelo puede servir de modelo para muchos problemas con características similares. En el caso del desarrollo de software, en general el modelo es más detallado y complejo debido a que las soluciones informáticas exigen contener condiciones más específicas y cercanas al contexto; en consecuencia, el modelo expresa con más detalles las condiciones, características y, en general, los elementos que describen el problema. Por lo tanto, el modelo será más susceptible a los cambios que se sucedan en la realidad.

Según el área del conocimiento o disciplina en la que se enmarca el problema, el modelo posee unas características. En nuestro caso estamos interesados en “modelos científicos” y, más específicamente, en “modelos matemáticos”; en ellos sus componentes se expresan mediante objetos matemáticos que se relacionan con las ciencias aplicadas de la ingeniería. En resumen, el proceso de modelación es una traducción de un problema o situación real (vista como un sistema complejo) que permite utilizar instrumentos y técnicas para representarla matemáticamente. Estamos interesados en los modelos matemáticos que contienen variables de entrada, parámetros, constantes, funciones y variables de salida.

Para ampliar los conocimientos sobre modelos matemáticos y su utilidad, consulte el texto de González (2003).

2.1.3 Formulación matemática

La concreción del proceso de modelado es la formulación matemática. Mediante ésta transformamos el modelo en objetos o expresiones matemáticas. A pesar de que tanto el modelo matemático como su formulación podrían entenderse como lo mismo, vamos a enfatizar –al separar la formulación matemática– que en esta fase el proceso de solución ya tenemos un objeto concreto para procesar o resolver, mientras que el modelo puede ser expresado de múltiples formas: un texto descriptivo, un dibujo, una maqueta, etc. Como resultado de la formulación matemática, podemos tener algunos de los siguientes objetos:

• Una ecuación de una variable

• Un sistema de ecuaciones lineales

• Un sistema de ecuaciones no lineales

• Un problema de interpolación

• Una derivada

• Una integral

• Una ecuación diferencial

El listado anterior no es completo debido a que existen muchas otras posibilidades para expresar la formulación matemática de un modelo. Por razones pedagógicas, mencionamos y agrupamos la lista anterior para mostrar el alcance de un curso introductorio de análisis numérico.

2.1.4 Solución

La solución al problema tiene tres vías. En el artículo de López et al. (2006), se presenta un ejemplo en el que muestra la solución a un problema de calor mediante un método analítico y un método numérico. Además, Chapra y Canale (2007) presentan un capítulo con ejemplos similares.

1. Analítica. Se determina mediante un conjunto de pasos completamente definidos y sustentados por argumentos lógicos y matemáticos. El último paso muestra la solución. Cada paso es explicado por los anteriores o mediante las propiedades matemáticas de los elementos involucrados, generalmente brindadas por la lógica, el álgebra y el cálculo.

Ejemplo 1. El valor de la siguiente integral mediante un método analítico, se calcula como sigue:

2. Numérica. Se obtiene mediante la definición de un conjunto de operaciones aritméticas plasmadas en un algoritmo que puede ser ejecutado en un computador.

Ejemplo 2. Valor aproximado de

El valor de la integral se expresa como el valor del área bajo la curva que define la función f con respecto al eje x, dada por f(x) = 3e^x − x². Miremos dos aproximaciones al valor del área:

1) El área bajo la recta que une los puntos del plano (0, 3) y (2, 18.16). Las abscisas de dichos puntos son los extremos de la integral. Dicha área es el área del trapecio que resulta de unir los puntos (0, 3), (2, 18.16), (0, 0) y (2, 0). El valor de la integral

se aproxima con la expresión

Al realizar las operaciones indicadas se obtiene un valor aproximado de la integral de 21.1671683...

2) El área bajo la parábola que une los puntos (0, 3), (1, 7.15) y (2, 18.16). Las abscisas de los puntos son los extremos de la integral y el punto medio entre ellos. El valor de la integral se aproxima con la expresión

Al realizar las operaciones indicadas se obtiene un valor aproximado de la integral de 16.59551675...

3. Gráfica. Brinda, como su nombre lo dice, una solución gráfica del problema. Por lo general lo que llamamos una solución gráfica, no lo es, en el sentido en que ésta es más bien un apoyo a la solución del problema.

Note que hemos calculado el valor de la integral de una función continua en el intervalo [0, 2] utilizando en el primer caso dos puntos y en el segundo, tres. En la práctica, no se calculan las soluciones analíticas y numéricas para comparar sus resultados. En general, se finaliza el proceso una vez se dispone de la solución del problema. Realizamos este ejemplo con el objetivo de que el lector entienda el significado de los métodos numéricos.

La Tabla 2 muestra algunas características de los tres métodos para solución de problemas presentados.

Tabla 2. Métodos para la solución de un problema

Con los elementos que hemos desarrollado hasta ahora podemos presentar una primera aproximación sobre el objetivo de los métodos numéricos.

Definición 1 (Métodos numéricos). Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal manera que puedan resolverse con aproximaciones usando operaciones aritméticas de manera eficiente.

Clasificación de los métodos numéricos. Los métodos numéricos pueden ser de varios tipos:

1. Métodos directos. Son métodos que brindan una solución tras una secuencia finita de operaciones.

2. Métodos iterativos. Son métodos que calculan una sucesión de soluciones aproximadas, generalmente a partir de una supuesta solución inicial, procurando que dicha sucesión converja a la solución esperada.

3. Métodos basados en la discretización del continuo. Aproximan la solución de problemas continuos presentando una solución discreta.