Kitabı oku: «Métodos numéricos», sayfa 4

2.4.2 Error relativo

El error relativo expresa la cantidad de error que se sucede con respecto al valor verdadero, es decir

Desde el punto de vista práctico, la expresión anterior es poco útil debido a que por lo general no se conoce el valor verdadero x. Comúnmente el error relativo se aproxima mediante la siguiente expresión, que nos permite usar el valor aproximado en lugar del verdadero y el valor del error absoluto E:

A continuación vamos a demostrar que por lo general es una buena aproximación de Para hacerlo, determinamos la diferencia (discrepancia) entre ambas expresiones.

Vemos que el error relativo aproximado es una buena aproximación del error relativo cuando la expresión tiende a 0. Esta situación se presenta cuando el numerador E² tiende a 0 –es decir, cuando E tiende a 0– y su denominador no se aproxima a 0. Adicionalmente, mientras más se separen de 0 los valores de x y de más adecuado es el valor de Intuitivamente, esta situación se explica, por ejemplo, porque si utilizamos un patrón de medida muy pequeño con respecto a la cantidad que vamos a medir, el resultado de la medida es mejor. Un aparato que mida el peso de un objeto en gramos es más preciso que otro que entregue su medida en kilogramos.

Es de notar que el error relativo no posee unidades. Por ello, es común que se presente su valor en términos de porcentaje.

Ejemplo 3. El error absoluto y relativo en cada caso se calcula del siguiente modo:

1. Sea x = 0.24 y entonces

2. Sea x = 8529 y entonces

Se observa a partir de los ejemplos que en el primer caso el error relativo es peor que en el segundo, aunque parezca lo contrario si solamente se tiene en cuenta el error absoluto.

El error relativo brinda de forma más adecuada la información sobre la cantidad de error que se sucede, debido a que expresa la cantidad de error con respecto a la magnitud de la cantidad involucrada.

Es importante observar que, dado que se conocen tanto el valor verdadero como el valor aproximado, hemos utilizado las definiciones básicas tanto para el error relativo como para el error absoluto.

Actividad 7 (Error absoluto y error relativo).

1. Calcule el valor de E y de en cada caso. Observe que en este caso se conoce el valor verdadero y el valor aproximado

1)

2)

3)

4)

2. Dado x = 312.257 ± 0.5 ∗ 10⁻³, determine el valor de E y de

3. Dado x = 312.257 ± 0.5 ∗ 10⁻¹, explique por qué la expresión está incorrectamente escrita.

4. Investigue qué significa redondeo de un número.

5. En su profesión, ¿cuáles serían las posibles aplicaciones de este aprendizaje? ¿Tiene algún ejemplo?

2.5 Decimales correctos y cifras significativas

Tal como lo hemos planteado en el desarrollo de la sección previa, el error aparece de forma natural en las diferentes etapas de solución de un problema. De este modo, el error impacta –por lo general– en cada uno de los resultados (valores) que se utilizan y obtienen en el proceso. Sin embargo, hacer un seguimiento del error en el proceso de solución es una tarea ardua, en la mayoría de los casos innecesaria, y no hace parte de los alcances de este texto. Pero, al utilizar los métodos numéricos, es necesario disponer de criterios que nos permitan determinar la calidad de la solución calculada. Como parte de ello, utilizamos los conceptos de decimales correctos y de cifras significativas para referirnos al grado de confiabilidad o certidumbre que se tiene en las cantidades numéricas que se utilizan y resultan de las operaciones realizadas.

Actividad 8. Para complementar y profundizar esta sección recomendamos utilizar el sistema interactivo de apoyo. El tema correspondiente es “Decimales correctos y cifras significativas” del Capítulo 1.

Pretendemos que el lector: Desarrolle los conceptos de decimales correctos y cifras significativas. Disponga de un criterio para referirse a valores numéricos con un grado de confiabilidad específico. Establezca relaciones con los conceptos asociados al error absoluto y al error relativo.

2.5.1 Notación numérica

Un valor numérico se puede expresar de múltiples formas.⁹ Primero se elige una base, que expresa la cantidad de dígitos que se van a utilizar para representarlo. Por ejemplo, un número escrito en código binario se expresa con los dígitos 0 y 1, y un número escrito en base decimal utiliza los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Segundo, al presentar el número con sus dígitos, con una parte entera y una decimal, el número queda expresado en forma polinómica en términos de su base. En general, si k es la cantidad de cifras enteras y m la de cifras decimales expresadas en una base β, tenemos

Para cada i, −m ≤ i ≤ k, se cumple que d_i < β. La expresión polinómica que representa al número anterior es

d_k ∗ β^k + ... + d₂ ∗ β² + d₁ ∗ β¹ + d₀ ∗ β⁰ + d₋₁ ∗ β⁻¹ + d₋₂ ∗ β⁻² + ... + d_−m ∗ β^−m

Para enfatizar la notación, hemos olvidado que β¹ = β y que β⁰ = 1. Note que los índices utilizados (esto es, k, ..., 2, 1, 0, −1, ..., −m) para diferenciar las cifras, marcan una posición y establecen un orden en la cifras. Las cifras de la izquierda son mayores que las cifras de la derecha. Por consiguiente, la cifra d_i es mayor que la cifra d_j si i > j, ya que d_i ∗ βⁱ > d_j ∗ β^j.

Por ejemplo, dados los números 2 305.13₁₀ y el numero 2 305.13₈ escritos en base 10 y 8 respectivamente, el polinomio resultante es

2 305.13₁₀ = 2 ∗ 10³ + 3 ∗ 10² + 0 ∗ 10 + 5 + 1 ∗ 10⁻¹ + 3 ∗ 10⁻² 2 305.13₈ = 2 ∗ 8³ + 3 ∗ 8² + 0 ∗ 8 + 5 + 1 ∗ 8⁻¹ + 3 ∗ 8⁻²

Con esta breve introducción esperamos que el lector amplíe la información para que: Reconozca las diferentes tipos de notación numérica. Establezca relaciones entre las diferentes notaciones. Defina criterios para eliminar la ambigüedad. Utilice diferentes criterios para el manejo adecuado de los métodos de redondeo en cada una de las bases. Relacione los conceptos de error con los métodos de redondeo en cada base.

Actividad 9. Realice un reconocimiento sobre algunas propiedades y operaciones de la notación numérica. Para guiar esta búsqueda presentamos algunas preguntas o situaciones.

1. Dado un número en una base β expresado en forma polinómica, ¿qué características tiene el número resultante al resolver las operaciones indicadas en el polinomio? Suponga un número entero en primer lugar.

2. Todo polinomio referido a un número entero se puede expresar en forma de multiplicaciones anidadas. Con base en el ejemplo, responda las preguntas y generalice. ¿Cuántas operaciones, sumas y multiplicaciones realiza? Compare este resultado con las operaciones que se realizan de forma directa.

3. Dado un número en base 10 ¿cómo trasladarlo a una base β? Piénselo como un proceso inverso al anterior.

4. ¿Cómo extender estos resultados cuando un número posee parte decimal?

Con el objetivo de disponer de un lenguaje más preciso y adecuado, en la siguiente sección presentamos la notación de punto flotante.

2.5.2 Notación de punto flotante

Un valor numérico posee infinitas formas de representación, que dependen de la ubicación del punto decimal y de la base en la que se represente. Por ejemplo, el siguiente conjunto de números representa el mismo valor escrito en base 10: 241.45, 24.145∗10¹, 0.24145∗10³, 0.024145∗10⁴, 2 414.5∗10⁻¹, 24 145∗10⁻², ...

Para evitar ambigüedad en la representación numérica, presentamos una notación numérica estandarizada para los números reales.

Actividad 10. Para complementar y profundizar esta sección recomendamos utilizar el sistema interactivo de apoyo. El tema correspondiente es “Punto flotante” del Capítulo 1.

Definición 2. Decimos que un número en base 10 está escrito en notación de punto flotante normalizada si el número es de la forma

±0.d₁d₂d₃...d_k... ∗ 10^±n

en donde para cada i, 1 ≤ i, se cumple que 0 ≤ d_i < 10 y d₁ ≠ 0.

En la Definición 2, la mantisa del número escrito de punto flotante normalizada puede ser escrita como d₁.d₂d₃...d_k..., en lugar de 0.d₁d₂d₃...d_k... Para efectos de nuestras discusiones, lo importante es elegir una única notación. Es fácil ver que podemos extender esta notación a otra base β; basta cambiar 10 por la nueva base y utilizar los dígitos correspondientes según la base elegida.

Cuando usamos un número finito de cifras para representar las cantidades numéricas, en algunos casos utilizamos métodos que permiten ajustar los valores a las condiciones del contexto o reducir los efectos que se suceden al eliminar las cifras restantes del número. Dichos métodos se conocen con el nombre de técnicas de redondeo. Estas técnicas realizan ajustes a la cifra de menor significado con base en el valor de las cifras eliminadas; las más comunes son: redondeo por corte, por exceso, simétrico basado en la estadística y simétrico basado en la distancia. Se recomienda disponer de argumentos sólidos para su elección, debido a los errores que se pueden presentar cuando utilizamos los valores resultantes del redondeo para realizar operaciones posteriores.¹⁰ A continuación presentamos algunas de ellas.

2.5.3 Clases de redondeo

Redondeo por corte o por defecto. Consiste en eliminar las cifras a la derecha de un dígito elegido. Es decir, elegimos como aproximación al número menor más próximo expresado con las cifras elegidas para su representación. Por ejemplo, el número 23.458973 expresado con dos decimales utilizando redondeo por corte es 23.45

Simbólicamente, si x es un número escrito en base β, entonces x se puede escribir como

x = ±0.d₁d₂d₃...d_kd_k+1d_k+2... ∗ β^±n

Entonces, el número que representa a x con k cifras al realizar redondeo por corte es

Gráficamente, la aproximación de x = 0.d₁d₂...d_k... ∗ βⁿ –con k cifras– define un intervalo cuyo extremo inferior es y el extremo superior Entonces, representa a x con k cifras al realizar redondeo por corte (ajuste por defecto).

El valor de x está en alguna parte del intervalo y _s representa a todo valor que pertenezca a dicho intervalo.

Actividad 11. Defina un algoritmo que realice el redondeo por corte al utilizar k cifras de un valor numérico dado. El método depende de la forma como se presente el dato; elegimos dos:

1. Si los números se escriben como una parte entera y una decimal, suponga que deseamos manejar un número finito de decimales.

2. Si los números se escriben en punto flotante normalizado, suponga que deseamos manejar un número finito de cifras en la mantisa.

Redondeo por exceso. Consiste en eliminar las cifras a la derecha de un dígito elegido y aumentar una unidad al dígito de menor significado del número resultante si la parte eliminada es diferente de 0. Es decir, elegimos como aproximación al número mayor más próximo con las cifras elegidas para su representación. Por ejemplo, el número 23.458973 aproximado con dos decimales al utilizar redondeo por corte es 23.46

Simbólicamente, dado

Si 0.d_k+1d_k+2... ≠ 0, entonces el número que representa a x –con k cifras– al utilizar redondeo por corte es

Gráficamente, la aproximación de x = 0.d₁d₂...d_k... ∗ βⁿ –con k cifras– define un intervalo cuyo extremo inferior es y el extremo superior Entonces, representa a x –con k cifras al realizar redondeo por exceso.

El valor de x está en alguna parte del intervalo y que representa a x con k cifras bx_s representa a todo valor que pertenezca a dicho intervalo.

Un ejemplo simple de aplicación de esta técnica se presenta cuando se desea contratar un grupo de taxis para desplazar un grupo de 31 personas. Supongamos que en cada taxi se desplazan cuatro 4 personas, el número de taxis para contratar es 8 y no 7.75.

Actividad 12. Defina un algoritmo que realice el redondeo por exceso al utilizar k cifras de un valor numérico dado. El método depende de la forma como se presente el dato; elegimos dos:

1. Si los números se escriben como una parte entera y una decimal, suponga que deseamos manejar un número finito de decimales.

2. Si los números se escriben en punto flotante normalizado, suponga que deseamos manejar un número finito de cifras en la mantisa.

Redondeo simétrico basado en la estadística. Consiste en eliminar las cifras a la derecha de un dígito elegido teniendo en cuenta el valor del dígito de mayor posición de los que se van a eliminar, del siguiente modo:

• Si el dígito es 5, 6, 7, 8, 9, aumente una unidad al dígito de la derecha (de menor posición) del número resultante.

• Si el dígito es 0, 1, 2, 3, 4, el número resultante se obtiene al suprimir las cifras que se desean eliminar.

Por ejemplo, el número 23.458973 aproximado con dos decimales al utilizar redondeo simétrico es 23.46, porque el siguiente dígito del 5 es 8.

Simbólicamente, dado un número en código decimal

x = 0.d₁d₂d₃...d_kd_k+1d_k+2... ∗ 10ⁿ

de acuerdo con el valor de d_k+1, el redondeo simétrico con k cifras se calcula de la siguiente forma:

• Si d_k+1 < 5, entonces

• Si d_k+1 ≥ 5, entonces

Note que el criterio que sustenta el método de redondeo simétrico es estadístico, porque la probabilidad de que d_k+1 < 5 es la misma que d_k+1 ≥ 5. En este sentido, el método se puede redefinir como sigue:

• Si d_k+1 ∈ {0, 2, 4, 6, 8}, entonces

• Si d_k+1 ∈ {1, 3, 5, 7, 9}, entonces

Actividad 13. El redondeo simétrico depende del código utilizado para escribir los números.

1. ¿Qué dependencia existe entre la base en la que están escritos los números y la técnica de redondeo simétrico?

• Defina el redondeo simétrico para números escritos en código hexadecimal.

• Defina el redondeo simétrico para números escritos en código octal.

• Defina el redondeo simétrico para números escritos en código binario.

2. Defina un algoritmo que realice el redondeo simétrico al utilizar k cifras de un valor numérico dado. El método depende de la forma como se presente el dato; para este caso elegimos dos:

• Si los números se escriben como una parte entera y una decimal, suponga que deseamos manejar un número finito de decimales.

• Si los números se escriben en punto flotante normalizado, suponga que deseamos manejar un número finito de cifras en la mantisa.

Redondeo simétrico basado en distancia. Consiste en eliminar las cifras a la derecha de un determinado dígito; con este valor y su consecutivo, elegimos como representante el valor más cercano al número dado. Para hacerlo, tenemos en cuenta el primer dígito a la derecha del dígito elegido, del siguiente modo:

• Si el dígito es 6, 7, 8, 9, se aumenta una unidad al dígito de la derecha (de menor posición) del número resultante.

• Si el dígito es 5, entonces observamos el siguiente dígito ubicado a la derecha del 5 y:

• Si es impar, se aumenta una unidad al dígito de la derecha (de menor posición) del número resultante.

• Si es par, el número resultante se obtiene al suprimir las cifras que se desean eliminar.

• Si el dígito es 0, 1, 2, 3, 4, el número resultante se obtiene al suprimir las cifras que se desean eliminar.

Simbólicamente, dado

x = 0.d₁d₂d₃...d_kd_k+1d_k+2... ∗ 10ⁿ

de acuerdo con el valor de d_k+1 se efectúa el redondeo de la siguiente forma:

• Si d_k+1 < 5, entonces

• Si d_k+1 = 5, entonces:

• Si d_k+2 ∈ {0, 2, 4, 6, 8}, entonces

• Si d_k+2 ∈ {1, 3, 5, 7, 9}, entonces

• Si d_k+1 > 5, entonces

Actividad 14. El redondeo simétrico basado en la distancia depende del código utilizado para escribir los números y de un criterio estadístico.

1. ¿El ajuste que se realiza cuando d_k+1 = 5, puede realizarse de otro modo?

2. ¿Qué dependencia existe entre la base en la que están escritos los números y la técnica de redondeo simétrico basado en la distancia?

• Defina el redondeo simétrico basado en la distancia para números escritos en código hexadecimal.

• Defina el redondeo simétrico basado en la distancia para números escritos en código octal.

• Defina el redondeo simétrico basado en la distancia para números escritos en código binario.

3. Defina un algoritmo que realice el redondeo simétrico basado en la distancia al utilizar k cifras de un valor numérico dado. El método depende de la forma como se presente el dato; para este caso elegimos dos:

• Si los números se escriben como una parte entera y una decimal, suponga que deseamos manejar un número finito de decimales.

• Si los números se escriben en punto flotante normalizado, suponga que deseamos manejar un número finito de cifras en la mantisa.

2.5.4 Decimales correctos

Tal como lo hemos planteado, al utilizar un computador como herramienta de cómputo, tanto un dato numérico que se ingresa como el que es el resultado de operaciones en la solución de un problema puede contener errores. Estos errores se pueden originar de diferentes formas; por ejemplo, en un computador, los valores se almacenan con un número finito de cifras. A continuación presentamos un criterio que nos permite asociar a un valor numérico específico un factor de calidad asociado con aquellas cifras en las que se puede confiar. En primer lugar, definimos un criterio asociado con los decimales de confianza llamado decimales correctos y luego presentamos un criterio que extiende el grado de confianza a todas las cifras del número llamado cifras significativas.

Definición 3 (Decimales correctos). A un número en notación decimal x se le determina como correcto hasta d decimales si x cumple que¹¹

Ejemplo 4. Sea e ≈ 2, 7182818284590452354... la base de los logaritmos neperianos. Deseamos utilizar cuatro cifras decimales correctas de e:

Entonces, el valor aproximado es 2.7183. Con ello estamos afirmando que el valor verdadero del número e cumple la siguiente propiedad, a pesar de que no conocemos su valor exacto:

2.7183 − 0.5 ∗ 10⁻⁴ ≤ e < 2.7183 + 0.5 ∗ 10⁻⁴ 2.71825 ≤ e < 2.71835

En el ejemplo, el valor aproximado de e lo representamos con un número de cuatro cifras decimales. Dicha representación implícitamente expresa un intervalo en donde, con certeza, está el valor exacto de e. En general, el tamaño del intervalo lo define el número de cifras decimales que se elijan para representar el valor de e.

Hasta ahora sabemos que podemos expresar un número con una determinada cantidad de cifras decimales. Pero en la práctica es importante establecer el número de decimales correctos que tiene una cantidad dada. Si observamos el intervalo que resulta de manera natural al hablar de decimales correctos, obtenemos la respuesta a este interrogante. En efecto, tal como se concluyó al realizar el análisis del error absoluto, el valor absoluto E define el tamaño de un intervalo cuyo centro es el valor aproximado x_a y contiene al valor verdadero x_v. Esto significa que el valor verdadero se encuentra entre los valores de x_a − E y x_a + E. Es decir

x_a − E ≤ x_v ≤ x_a + E

Se observa la similitud entre los conceptos de decimales correctos y error absoluto. Ambos plantean un intervalo cuya amplitud se define según la cantidad de decimales correctos y el valor del error absoluto respectivamente. Más precisamente:

Supongamos que Decimos que un número tiene d decimales correctos si se cumple que E ≤ 0, 5 ∗ 10−d