Kitabı oku: «Métodos numéricos», sayfa 3

2.2 La computación científica y el análisis numérico

En esta sección presentamos la relación que existe entre la computación científica y el análisis numérico. Para una mejor comprensión del tema, recomendamos al lector complementar esta presentación con los siguientes textos: Golub y Ortega (1993); Köckler (1994); Heath (1997). Tal como lo plantean Golub y Ortega, “la computación científica es la colección de herramientas, técnicas y teorías requeridas para resolver en un computador problemas relacionados con la ciencia y la ingeniería que son formulados matemáticamente”. En este sentido, la computación científica se vale del análisis numérico y de las ciencias de la computación para producir, o utilizar de la mejor forma, sistemas computacionales que resuelven problemas de la ciencia y la ingeniería. La disciplina de las ciencias de la computación se ocupa de considerar lenguajes de programación, sistemas operativos, administración de datos, corrección de programas, y en general, se ocupa de proveer herramientas de software y hardware que garanticen calidad y eficiencia de la solución dada por el algoritmo elegido o diseñado; mientras que el análisis numérico provee los elementos matemáticos para sustentar, definir o seleccionar un método adecuado y permite determinar las características de la solución de acuerdo con las propiedades del modelo.

Para la solución de problemas mediante la computación científica, presentamos tres elementos o procesos que constituyen la solución:

2.2.1 Modelos matemáticos

Tal como lo hemos planteado, mediante las leyes que gobiernan el fenómeno o problema se establece un modelo que lo reproduce y explica. En el proceso de modelado se producen errores que obligan a realizar pruebas de validación. Un ciclo de revisión comprende cambios en la formulación, una nueva solución numérica, revalidación, modificaciones adicionales, etc. Los modelos matemáticos se presentan o explican en términos de objetos matemáticos.

2.2.2 La solución numérica

Una vez dispongamos de un modelo, comenzamos la tarea de hallar una solución numérica al problema. Para ello, es necesario tener claro el ambiente computacional en términos del hardware y software disponibles, en contraste con los requerimientos de calidad exigidos para la solución del problema. Se elige o diseña un método (algoritmo) para resolver el problema.

Al tratarse de una solución de software, se deben dar garantías de la calidad del software y de la solución que éste provee. Aunque el tema de calidad es muy amplio, vamos a presentar algunas características, corriendo el riesgo de dejar a un lado asuntos de importancia. Invitamos a los estudiantes, tanto de ingeniería de sistemas como de matemática, a ampliar sus conocimientos en este tema, no sin antes aclarar que es un tema amplio y es, más bien, un área de estudio. Al desarrollar un software que brinda una solución específica, es necesario hacerse varias preguntas sobre el software y los resultados que produce. A pesar de que algunas de estas preguntas no están relacionadas con los temas referidos en el presente texto, el lector debe comprender la importancia de ocuparse de la calidad de la solución encontrada:²

¿Los resultados son los que realmente deben ser?

¿El problema se abordó con métodos y técnicas que brindan la ingeniería y las matemáticas?

¿Los procesos para la obtención de resultados son eficientes en el tiempo y uso de recursos?

¿El software es fácil de utilizar?

¿El software está protegido frente al uso inadecuado del mismo?

¿Puedo corregir los resultados fácilmente, cambiarlos y probarlos?

¿Puedo usar los resultados en otras máquinas e interactuar con éstas?

¿Puedo llevar los resultados a otros programas?

¿Los datos se manejan de forma adecuada?

Por tratarse de un software orientado a la computación científica, es necesario mencionar algunos elementos adicionales que pueden llegar a incidir en la calidad de la solución. En el desarrollo del texto ampliaremos y profundizaremos en estos aspectos.

Errores de redondeo y propagación. Tal como lo mostraremos en la Sección 2.3, el computador utiliza un espacio finito para almacenar sus datos. Este tipo de error se evidencia en el ingreso de los datos, en la realización de operaciones y en la conversión a código binario. En consecuencia, la solución puede ser afectada por la acumulación de estos errores, a pesar de que estadísticamente es probable que los errores se compensen unos con otros.

Tal como veremos más adelante, los algoritmos pueden llegar a ser muy sensibles a los cambios que producen los errores de redondeo y propagación, a pesar de que sean correctos desde el punto de vista lógico.

Error de discretización o truncamiento. Se deben a la necesidad de remplazar un problema continuo por uno discreto. En los Ejemplos 1 y 2 se presentan la solución analítica y la solución numérica de Con ellos se ilustra un caso de discretización y se puede observar la diferencia entre la solución analítica y la solución numérica de un problema dado.

Algunos métodos numéricos se sustentan en la idea de calcular una sucesión de valores, o aproximaciones, que se espera que converjan a la solución esperada. Esta idea supone el uso del concepto de límite de una sucesión de infinitos valores, y desde el punto de vista computacional esto no es probable; todo cálculo debe ser realizado un número finito de veces. El error que se genera en este proceso es conocido como error de truncamiento. Más adelante desarrollamos este tema.

2.2.3 El ambiente computacional

El conocimiento del ambiente computacional es una de las tareas que se deben realizar como parte de la solución al problema, y se configura según las condiciones de calidad, especificaciones y condiciones del problema.

El hardware. En la actualidad existe una variedad de herramientas de cálculo que pueden ser utilizadas para resolver un problema numérico. En el mercado hay disponibles computadores que permiten gran potencia de cálculo, mejor capacidad de almacenamiento y mayor velocidad de procesamiento, entre otras.³ Existe la posibilidad de utilizar varios computadores y recursos para realizar procesamiento, ya sea paralelo, distribuido o Grid Computing.⁴ Tal como lo discutiremos más adelante, uno de los factores para lograr la calidad de la solución es el tipo máquina elegida.

El entorno de programación. El sistema operativo y el lenguaje de programación influyen en la calidad de los cálculos. Por ejemplo, son notorias las diferencias en la calidad de los resultados obtenidos en problemas resueltos con Matlab y con Visual Basic. Sin embargo, es necesario anotar que en los últimos años la brecha –en este sentido– entre los diferentes entornos de programación ha disminuido, debido a que éste es uno de los factores de competitividad de los productos.

Existen otros problemas ligados al alcance de la computación científica que recomendamos ampliar: manejo de grandes cantidades de datos o estructuras, visualización de resultados acordes con los requerimientos del problema, computación simbólica, manejo de estructuras de datos y paradigmas computacionales, entre otros.

Los métodos numéricos son recursos cada vez más útiles, adecuados y mejores para la solución de problemas de la ciencia y la ingeniería. Una de las herramientas fundamentales en la vida de un ingeniero es la computación científica y, a su lado, el computador. Pero un computador, por más potente que sea, sin el conocimiento para su uso adecuado, no es útil.

A continuación presentamos en detalle algunos conceptos mencionados previamente, con el objetivo de disponer de un lenguaje apropiado para el desarrollo del curso. En algunos casos ampliamos o detallamos algunos temas que están dirigidos a estudiantes de ingeniería de sistemas o de matemática (o carreras afines).

2.3 Fuentes de error

La perfección es la meta que todo ingeniero debe tener para la solución de los problemas que aborda, pero esta meta más que real se comporta como un ideal por alcanzar. Puesto que, según las condiciones que la misma realidad del problema impone, el error es parte intrínseca tanto en la definición como en el uso efectivo de los métodos numéricos. Los errores se pueden presentar, de manera natural, en las diferentes etapas del proceso de solución de un problema.

Actividad 2. Para complementar y profundizar esta sección recomendamos utilizar el sistema interactivo de apoyo. El tema correspondiente es “Error relativo y error absoluto” del Capítulo 1.

El esquema que presenta la Figura 2 muestra algunas de las fuentes de error en la solución de un problema.

• El método empleado. La forma como se estructuran los cálculos. Establece el orden y secuencia de las operaciones.

Figura 2. Fuentes de error

• Los datos. Conjunto de datos o insumos que intervienen en la solución de un problema. De acuerdo con las condiciones, recursos y exigencias del problema, estos errores poseen unas características.

• La máquina usada. Comprende el ambiente computacional (hardware y software) elegido para la solución y aparatos de medición y monitoreo.

Los ejemplos o situaciones que mencionamos a continuación se supone que se resuelven con el uso de una máquina de cálculo y en las condiciones reales que enfrentaría un ingeniero. A continuación, presentamos algunas situaciones mediante las cuales se muestra que el error surge de manera natural en la solución de problemas.

Pretendemos que el lector: Identifique las diferentes fuentes de error. Reconozca que el error es parte intrínseca en el uso y entendimiento de los métodos numéricos. Detecte la presencia de errores cuando se utilizan máquinas de cálculo como apoyo a la solución.

2.3.1 Modelo

Para obtener el modelo, se realizan procesos de análisis, síntesis, simplificación y abstracción. En ellos se eliminan elementos que –a juicio del ingeniero– no son relevantes para la solución del problema. Esta eliminación puede conducir a errores en la solución. Por ejemplo, consideremos el movimiento descrito por una flecha que se lanza con una velocidad que forma un ángulo con el eje horizontal –ésta describe una trayectoria parabólica–. El movimiento de la flecha puede considerarse el resultado de componer dos movimientos simultáneos e independientes entre sí: uno, horizontal y uniforme; otro, vertical y uniformemente variado debido a la gravedad. En este ejemplo no hemos considerado elementos que pueden llegar a ser importantes y pueden cambiar la trayectoria de la flecha, tales como la resistencia del aire, los vientos laterales, la temperatura, la humedad y la altura, entre otros. El modelo simple que considera la caída libre de un cuerpo supone dos fuerzas opuestas: una relacionada con la gravedad y otra con la fricción. Pero, en el caso del lanzamiento de un paracaidista, elementos como la humedad, los vientos y la lluvia, entre otros, pueden llegar a ser relevantes.

2.3.2 Método empleado

El método escogido para realizar los cálculos influye en la forma y cantidad de error generado en el proceso.

1. Utilicemos diferentes herramientas para calcular la siguiente expresión: 1∗3.⁵ El resultado lo dividimos por 3 y el resultado es 1. Pero si calculamos 1/3 y luego lo multiplicamos por 3, no siempre se obtiene como resultado 1. En conclusión, no siempre la siguiente igualdad es cierta.

Esta situación se presenta porque el aparato tiene una capacidad finita para almacenar sus datos. Al realizar la división entre 1 y 3, el resultado es un número racional periódico infinito. Este cálculo se realizó en una calculadora HP 48G.

2. Del mismo modo que en el caso previo, comprobemos con Excel la siguiente ecuación.

El lado derecho de la igualdad no se puede calcular debido a que desborda la capacidad de almacenamiento de la máquina (overflow)⁶ y se suspende el proceso.

3. Calculemos en Excel 10³⁰⁹/(25 ∗ 10⁵)

Una vez que aparece el error por desbordamiento, las operaciones no se realizan de forma adecuada o se detiene el cómputo. Para evidenciar este hecho en una determinada máquina, es necesario conocer el mayor valor numérico que pueda almacenar el equipo. Si en los cálculos obtenemos el mayor valor posible, en general, toda operación de este valor con otro número produce resultados inadecuados.

Actividad 3. Con una calculadora o herramienta de cálculo que tenga a su alcance, elabore ejemplos similares que permitan verificar las conclusiones previas. Aporte otros ejemplos o casos que muestren otro tipo de errores.

2.3.3 Máquina usada

Tal como se deduce de los ejemplos anteriores, algunos de ellos funcionan correctamente dependiendo de la máquina de cálculo utilizada.

La Figura 3 muestra algunos relojes para medir el tiempo. Es claro que la calidad de la medida es diferente según el tipo de reloj utilizado.

Figura 3. Algunos relojes usados para medir el tiempo

En conclusión, la calidad de las cantidades que manejamos depende de los aparatos usados para medir y calcular. Por ejemplo, no es lo mismo utilizar un computador de 32 bits que uno de 64. ¿Por qué?

Actividad 4. Presente otros ejemplos en donde se manifieste este problema.

2.3.4 Los datos

En muchos problemas se utilizan datos iniciales, o de entrada, que presentan problemas al momento de iniciar el proceso de cómputo. Como ejemplo se presentan los siguientes casos:

1. Números irracionales. El modelo involucra datos que son números irracionales, como por ejemplo etc. Es decir, hay datos que son números decimales no periódicos e infinitos y que no se pueden introducir como tal en el computador, salvo con lenguajes de programación diseñados para ello, en computación simbólica o programación orientada a objetos.

2. Racionales infinitos. El modelo involucra datos como que son decimales periódicos infinitos. Como consecuencia, no se pueden escribir como datos en un computador esas expresiones decimales, salvo en computación simbólica, en programación orientada a objetos o ambientes computacionales donde se puedan definir como tal.

3. Valores experimentales. Es muy común que utilicemos valores que son el resultado de un proceso experimental, como la gravedad, o valores que son producto de la experiencia, como es el caso de presupuestos de obras civiles en el que el resultado es afectado por un valor adicional para atender imprevistos y que varía dependiendo de muchos factores.

4. Imprecisión en las medidas. La calidad de los datos que son el resultado de una medición depende del aparato utilizado para medir. Por ejemplo, el dato obtenido en el peso de un objeto es diferente en una báscula que en una pesa electrónica.

5. Representación binaria. Existen valores numéricos cuya representación binaria es infinita a pesar de que su representación decimal es finita, como es el caso

En conclusión, el error surge de manera natural en los procesos que se realizan para obtener la solución de problemas que involucran modelos matemáticos. Los errores son inherentes a los valores –datos y resultados de operaciones– que están involucrados en los diferentes procesos de la solución; el uso de un computador como herramienta de cálculo puede aumentarlos. En el transcurso de este capítulo mostraremos otras situaciones que corroboran esta afirmación.

Actividad 5. Encuentre ejemplos similares relacionados con su profesión.

Los métodos numéricos por una parte estudian, construyen y comparan las maneras de solución, y por otra parte analizan la aparición y propagación de los errores y su efecto en la respuesta.

2.4 Error absoluto y error relativo

La palabra “error” tiene múltiples acepciones, dependiendo del contexto en el que se utilice. En nuestro caso el sentido es matemático, y se diferencia en su significado de expresiones como equivocación, falta, falla, entre otras. En el desarrollo de las discusiones previas hemos planteado diferentes argumentos para mostrar que al utilizar un computador en la solución de un problema real, en general la solución obtenida es una aproximación al valor deseado. En efecto, en el proceso de solución de un problema real, son múltiples las fuentes y circunstancias para que los resultados parciales que se van obteniendo se desvíen de los valores que deberían dar. La discrepancia entre los valores calculados y los que deseamos calcular, nos permite definir el concepto de error.

Actividad 6. Para complementar y profundizar esta sección recomendamos utilizar el sistema interactivo de apoyo. El tema correspondiente es “Error absoluto y error relativo” del Capítulo 1.

Por ejemplo, en el estudio de algunas propiedades de la materia, por lo general se busca asociar los datos cuantitativos a las magnitudes físicas que las caracterizan. La medición de una propiedad física es el resultado de comparar dicha propiedad con un patrón conocido de la misma, para obtener su magnitud o valor numérico. Cuando se mide una propiedad física, ya sea de forma directa o indirecta, el resultado obtenido no es necesariamente el valor exacto de tal medida, debido a que el resultado de la comparación depende de la calidad del patrón escogido para medir. Por ejemplo, si vamos a medir el ancho de un objeto, no es lo mismo si utilizamos una cinta, un micrómetro o un distanciómetro.

Pretendemos que el lector: Comprenda los conceptos de error absoluto y error relativo. Disponga de criterios para justificar la utilización del error absoluto y el error relativo. Reconozca criterios para la estimación del error absoluto y error relativo, en caso de no disponer de ellos.

Entendemos por error el resultado de comparar el valor aproximado con el valor verdadero o deseado. Esta comparación tiene dos sentidos.

2.4.1 Error absoluto E

Establece la diferencia que existe entre el valor verdadero x y el valor aproximado Es decir, Por consiguiente, si E = 0, entonces el valor verdadero x coincide con el valor aproximado en cuyo caso decimos que no hay error.⁷ Buscamos que el error sea lo más próximo posible a 0. Si E > 0, el valor aproximado es inferior al valor verdadero, y decimos que se subaproxima a x con un error E. Similarmente, si E < 0, el valor aproximado es mayor que el valor verdadero, y decimos que se sobreaproxima a x con un error E. Algunos autores utilizan Δx en lugar de E, ya que el símbolo Δ manifiesta el significado que hemos planteado del error absoluto.

El error absoluto posee las mismas unidades que el valor aproximado. Por ejemplo, si estamos midiendo el ancho de una mesa y su valor verdadero es x = 2.56 metros (m) y su valor aproximado es entonces E = −0.01 m. Con el ejemplo podemos realizar varias consideraciones:

• Desde el punto de vista práctico, no tiene sentido que si conocemos el valor verdadero estemos realizando operaciones con el valor aproximado. La dificultad radica en que el valor que se desconoce comúnmente es el verdadero.

• El error absoluto por sí mismo no expresa mucho. Un error absoluto de 0, 5 m no dice nada si se desconoce la magnitud de la distancia que se mide. Este error es inconcebible al medir el ancho de una mesa, pero puede ser normal al medir la distancia de la parte más ancha del río Amazonas y es increíble si estamos hablando del recorrido del río Amazonas desde su nacimiento hasta su desembocadura.

• Para expresar en un sentido práctico el uso del error absoluto, el valor verdadero se expresa como un elemento del intervalo definido por la expresión Es decir, Es importante aclarar que en algunos textos la expresión anterior se presenta como que no es una ecuación, y su significado es el que hemos planteado. En la expresión es el valor aproximado que se obtiene en el proceso, y el error E –en este contexto positivo– expresa la cercanía de con el valor verdadero x. El tamaño del intervalo está dado por E; esto significa que mientras E sea más pequeño, mejor es la aproximación definida por el valor El valor verdadero x se expresa como elemento del intervalo cuyo centro es y el radio es E. De este modo, el valor de E expresa la calidad de la aproximación Como consecuencia, la operación que indica la expresión se realiza para obtener los extremos del intervalo. Por ejemplo, una medida dada por 353.25 ± 0.04 m expresa que la medida exacta es algún valor entre 353.21 m y 353.29 m, es decir, x ∈ [353.21, 353.29].

• Debido a que E define la longitud del intervalo en el que se encuentra el valor de x, el valor E comúnmente se representa en notación de punto flotante,⁸ con una mantisa con una o dos cifras decimales, de la forma 0.d₁d₂ ∗ 10^−d. Esta notación permite destacar el valor del exponente d que expresa la magnitud del error. En este sentido, el error E se entiende como una cota máxima del error absoluto.

• En algunos contextos, E se entiende como el máximo error absoluto posible que resulta de aproximar a x con Si sólo interesa la magnitud de E, se define el error absoluto como

• El valor de E en algunos casos se puede estimar previamente. Para el caso de mediciones, su valor está dado en las especificaciones técnicas o estudios de laboratorio del aparato de medición. En la aplicación de los métodos numéricos definiremos criterios para aproximar el valor E.