Kitabı oku: «Métodos numéricos», sayfa 5
2.5.5 Cifras significativas
Hemos relacionado el concepto de decimales correctos con el de error absoluto. De tal manera que, dado un valor aproximado 
y el error absoluto E, podemos determinar la cantidad de decimales correctos que posee 
Y viceversa: si conocemos la cantidad de decimales correctos podemos determinar un valor máximo posible del error absoluto.
El concepto de decimales correctos establece un criterio que se aplica sobre un número expresado con una parte entera y una parte decimal. Supongamos, por ejemplo, que el peso de un objeto es de 23.45 kilogramos con dos decimales correctos; luego, E < 0.5 ∗ 10−2. Si expresamos la medida en gramos, 23, 450, aparentemente se pierde la noción de decimal correcto.12 Para evitar esta ambigüedad, presentamos un concepto que nos permite determinar la calidad de todas las cifras, enteras y decimales, de un valor numérico dado.
Definición 4 (Cifras significativas). Sea d el número de decimales correctos. La cantidad de cifras significativas que tiene un número se obtiene contando hacia la derecha, a partir de la cifra de mayor posición diferente de 0, todas aquellas cifras que ocupen posiciones mayores o iguales que 10−d.
Supongamos que 
tiene d decimales correctos. Entonces, 
tiene la forma
si la cifra dk ≠ 0, según la Definición 4, el número dado tiene k + 1 + d cifras significativas.
Observe la relación directa que existe entre los conceptos de cifras significativas y decimales correctos. Dado el número de decimales correctos, obtenemos las cifras significativas y viceversa.
Ejemplo 5. En cada caso determinamos la cantidad de decimales correctos y de cifras significativas que se utilizan para expresar el valor de .
1. Sea x = 25.3 ± 0.6 ∗ 10−5. Entonces, 
y E = 0.6 ∗ 10−5. Como 0.6 ∗ 10−5 no es menor que 0.5 ∗ 10−5, es decir 
entonces para que la desigualdad sea cierta debemos reescribir el valor del error
E = 0.6 ∗ 10−5 = 0.06 ∗ 10−4
Entonces, con los cambios realizados, se cumple que
0.06 ∗ 10−4 < 0.5 ∗ 10−4
y concluimos que 
tiene cuatro decimales correctos. Según el resultado, debemos escribir 
para destacar de forma explícita la cantidad de decimales correctos. En este sentido los valores 25.3 y 25.3000 son diferentes: el primero manifiesta que posee un decimal correcto, mientras que el segundo tiene cuatro.
En este caso, la cantidad de cifras significativas está dada por el número de cifras enteras unidas a la cantidad de cifras decimales. El número de cifras significativas es seis, como lo muestra el siguiente esquema:
2. Sea 
Con los datos obtenemos que 
Concluimos que 0.34 ∗ 10−5 < 0.5 ∗ 10−5, y por lo tanto 
posee cinco decimales correctos. Por consiguiente, 
tiene cuatro cifras significativas.
3. Sea x = 100 y 
Dado que 
se deduce que 0.4∗10−3 < 0.5∗10−3, y por lo tanto 
posee tres decimales correctos. En conclusión, 
tiene cinco cifras significativas.
Note que a pesar de que no tiene cifras en común con x, posee cinco cifras significativas.
Actividad 15. Determine el número de decimales correctos y la cantidad de cifras significativas de los ejemplos resueltos en los numerales 1 y 2 de la Actividad 7.
2.5.6 Calidad en las cifras y el error
Los conceptos de decimales correctos y cifras significativas nos permiten desarrollar criterios para la manipulación de valores numéricos con un grado de precisión sobre la cantidad de cifras que posee cada dato. Con ello eliminamos la ambigüedad para la manipulación de datos.
Si un valor posee una determinada cantidad de cifras significativas, éstas no se pierden al presentar el número de una forma u otra, pues con ello hemos definido una característica adicional asociada al número. En este sentido, la cantidad de cifras significativas no varía con el formato utilizado para su representación.
Dado que el concepto de cifras significativas se aplica a la totalidad de las cifras que posee el número, es muy común expresar –en notación de punto flotante– exactamente el número de cifras significativas que posee el dato. Así que, los números 0.56 ∗ 105, 0.5600 ∗ 105 y 0.5600000 ∗ 105 son diferentes porque poseen 2, 4 y 7 cifras significativas respectivamente.
Actividad 16 (Cifras significativas y decimales correctos). Responda a cada uno de los interrogantes o situaciones desde el lugar de la profesión en la que usted se está formando.
1. ¿Cuál sería la utilidad de los conceptos de cifras significativas y decimales correctos en su vida profesional?
2. Presente un ejemplo en donde los conceptos de cifras significativas y decimales correctos puedan ser útiles
3. ¿Qué implicaciones tienen los conceptos de cifras significativas y decimales correctos en el diseño y uso de documentación?
4. ¿Por qué es importante el uso de la notación normalizada en punto flotante?
5. ¿Por qué un valor aproximado define un intervalo?
El siguiente ejemplo nos permite relacionar los conceptos de cifras significativas y el error relativo, del mismo modo como se estableció la relación entre decimales correctos y error absoluto.
Ejemplo 6 (Máximo error relativo). Determine el valor máximo –en valor absoluto– del error relativo 
entre un número y su representación normalizada en punto flotante con k cifras significativas ajustadas con redondeo simétrico.
Solución. Para efectuar el análisis presentamos algunos ejemplos numéricos. En el Ejemplo 7 realizamos un análisis más general.
Para cada uno de los siguientes casos determine el error absoluto y el error relativo, ambos en valor absoluto. Suponga redondeo simétrico.
1. Si 
y el valor aproximado xa posee cuatro cifras significativas.
Solución. Dado que xa tiene cuatro cifras significativas y el redondeo es simétrico, entonces xa = 2.667.
El valor del error absoluto es
E = |xv – xa| = 0.3 * 10−3
El valor del error relativo está dado por
2. Si xv = e = 2.718281828 y el valor aproximado xa posee cinco cifras significativas.
Solución. Dado que xa tiene cinco cifras significativas y el redondeo es simétrico, entonces xa = 2.7183.
El valor del error absoluto es
E = |xv − xa| = 0.1 ∗ 10−4
El valor del error relativo está dado por
3. Si xv = 0.0129 y el valor aproximado xa posee dos cifras significativas.
Solución. Dado que xa tiene dos cifras significativas y el redondeo es simétrico, entonces xa = 0.013.
El valor del error absoluto es
E = |xv − xa| = 0.1 ∗ 10−3
El valor del error relativo está dado por
4. El valor de xv se representa como 453.32 con cinco cifras significativas.
Solución. Según el enunciado, el valor aproximado es xa = 453.32. Como xa tiene cinco cifras significativas, entonces xa tiene dos decimales correctos y por lo tanto el máximo error absoluto es
E = 0.5 ∗ 10−2
El valor del error relativo está dado por
Para nuestro análisis suponemos que el error relativo tiene el formato d1.d2 ∗ 10−k, con d1 ≠ 0. Observamos que el valor máximo de error relativo –en valor absoluto–, al igual que en el caso del error absoluto, depende de dos parámetros: el exponente y el primer dígito de la izquierda diferente de 0. Si observamos los resultados obtenidos en los cuatro casos, el número de cifras significativas coincide con el exponente, siempre que la mantisa sea menor que 5. Es decir, si el error está escrito en punto flotante y la mantisa es menor que 5, entonces el valor del exponente coincide con la cantidad de cifras significativas. Es de notar que si un número tiene tres cifras significativas, también tiene dos cifras significativas y una cifra significativa. Por ejemplo, si 4.2∗10−3 < 5∗10−3 es cierto, también 0.42∗10−2 < 5∗10−2 es cierto y también es cierto 0.042 ∗ 10−1 < 5 ∗ 10−1.
El valor máximo del error relativo en valor absoluto 
depende del número de cifras significativas y del tipo de redondeo. En el Ejemplo 7 demostramos que el valor máximo, en valor absoluto, del error relativo 
entre un número escrito en base 10 y su representación en punto flotante normalizada con k cifras significativas es13
El siguiente ejemplo lo recomendamos para los estudiantes de ingeniería de sistemas y de ingeniería matemática.
Ejemplo 7 (Máximo error relativo). Determine el valor máximo, en valor absoluto, del error relativo 
entre un número y su representación normalizada en punto flotante con k cifras significativas.
Solución. Hemos establecido que el valor del error depende de la base numérica y del tipo de redondeo. Suponemos que los datos están expresados en base 10 y con dos técnicas de redondeo: corte y simétrico.
Si x es un número en notación de punto flotante normalizada, entonces es de la forma
x = 0.d1d2d3...dkdk+1dk+2... ∗ 10n
donde d1 ≠ 0, y para todo i > 1 se cumple que 0 ≤ di ≤ 9. El valor de 
escrito con k cifras depende del tipo de redondeo que se utilice al eliminar las cifras en exceso del número. Con 
determinamos el valor del error relativo como
1. Redondeo simétrico. Para obtener 
observamos la cifra dk+1. Dos casos:
1) Si dk+1 < 5, entonces 
La cota de la expresión se obtiene al calcular el valor mayor posible de la fracción |0.dk+1dk+2... ∗ 10−k/0.d1d2d3...dk|. Para ello aplicamos el siguiente criterio: si al comparar varias fracciones encontramos una que posee mayor numerador y menor denominador, podemos afirmar que ésta es la mayor. Primero, el mayor valor posible del numerador, 0.dk+1dk+2... ∗ 10−k, es de la forma 0.49999999... ∗ 10−k. Para no utilizar una expresión infinita, seleccionamos como mayor valor posible 0.5 ∗ 10−k y por ello el símbolo < sin el símbolo =. Segundo, el menor valor posible del denominador –0.d1d2d3...dk...– es 0.1, ya que x está en notación normalizada de punto flotante.
2) Si dk+1 ≥ 5, entonces 
Es decir, sumamos 1 a la cifra dk.
El valor de la cota se obtiene al calcular el valor mayor posible de la fracción
Para ello se calcula el mayor valor posible del numerador |(0.dk+1dk+2... − 1) ∗ 10−k| y el menor valor posible del denominador |0.d1d2d3...dk...|. Primero, en el numerador, por las propiedades de valor absoluto, se tiene que |0.dk+1dk+2... − 1| = |1 − 0.dk+1dk+2...|. Por lo tanto, el mayor valor del numerador se obtiene cuando 0.dk+1dk+2... sea lo menor posible, y por las condiciones de la cifra dk+1, este valor es 0.5. Como consecuencia, |0.dk+1dk+2... − 1| ≤ 0.5. Segundo, el menor valor posible de 0.d1d2d3...dk... es 0.1. Aunque debemos tener en cuenta un detalle: la cifra dk+1 no puede ser menor que 5; por ello, utilizamos < en lugar de ≤.
2. Redondeo por corte. Para obtener 
eliminamos todas las cifras a partir de dk+1; entonces 
El valor de la cota se obtiene al calcular el valor mayor posible de la fracción
Entonces calculamos el mayor valor posible de |0.dk+1dk+2... ∗ 10−k| y el menor valor posible del denominador |0.d1d2d3...dk...|. Primero, en el caso del numerador 0.dk+1dk+2... ∗ 10−k, el mayor valor posible es 0.99999999... ∗ 10−k que está acotado superiormente por 1.0 ∗ 10−k. Segundo, el menor valor posible de 0.d1d2d3...dk... es 0.1.
En conclusión, el valor máximo del error relativo en valor absoluto es 5∗10−k, en el caso del redondeo simétrico. Si es redondeo por corte, es 10∗10−k. Observe que un valor es el doble del otro y que en ambos casos las cantidades dependen del número de cifras k utilizadas.
Para efectos prácticos, por lo general, no diferenciamos en el tipo de redondeo usado y asumimos una única cota para el error relativo. Sin embargo, con las conclusiones previas, esperamos que el lector disponga de criterios para realizar análisis adecuados cuando los requiera.
 | Dado el valor de  para un número, podemos determinar la cantidad de cifras significativas k que posee utilizando el siguiente criterio:  |
Hemos logrado establecer un relación entre las cifras significativas y el error relativo, en el sentido en que, si conocemos la cantidad de cifras significativas, podemos determinar el máximo error relativo. Al contrario, si conocemos el valor del error relativo, podemos determinar el número de cifras significativas.
Estamos en condiciones de relacionar los conceptos principales hasta ahora desarrollados. En principio establecimos que el error absoluto y el error relativo tienen una relación directa, en el sentido en que el conocimiento del uno implica el conocimiento del otro. Del mismo modo y en los dos sentidos, con el error absoluto determinamos los decimales correctos, y con el error relativo determinamos las cifras significativas. Y finalmente, por definición, establecimos una relación estrecha entre decimales correctos y cifras significativas. El diagrama de la Figura 4 muestra estas relaciones.
Figura 4. Relación entre el error y la calidad de las cifras en un valor numérico
Actividad 17. Con la realización de las siguientes actividades pretendemos reforzar y ampliar los aprendizajes.
1. Si cambiamos de base, por ejemplo base octal, binaria o hexadecimal, ¿cómo se definen las estrategias de redondeo y cuáles serían las correspondientes cotas para el error?
2. Generalice la respuesta anterior para cualquier base
3. ¿Que dependencia tienen los valores de las cotas del error con respecto al tipo de redondeo que utilizamos para el ajuste de cifras?
4. ¿Cuál es la utilidad de la relación establecida entre el error relativo y las cifras significativas?
5. ¿Qué importancia tiene el diagrama de la Figura 4?
La siguiente sección la recomendamos para los estudiantes de ingeniería de sistemas y de ingeniería matemática o a quien esté interesado en entender la forma de almacenamiento de los números en el computador y sus efectos en los cálculos.
2.6 Los números en el computador
Cada vez más y con mayor frecuencia utilizamos como herramienta de apoyo el computador para realizar los cálculos necesarios en la solución de problemas. Comúnmente en nuestros cálculos utilizamos números escritos en base decimal, que al introducirlos en un computador son convertidos a código binario.14 Además, el espacio reservado para el almacenamiento de dichos datos es finito.
Actividad 18. Para complementar y profundizar esta sección recomendamos utilizar el sistema interactivo de apoyo. El tema correspondiente es “Los números en el computador” del Capítulo 1.
 | Pretendemos que el lector: Reconozca las diferentes formas de almacenar un dato numérico en el computador. Determine las consecuencias de las formas de almacenamiento de los datos numéricos. Determine cada una de las partes que componen la notación de punto flotante en relación con la forma de almacenamiento del dato en el computador. |
Si x(2) es un número real escrito en código binario, su representación en notación de punto flotante normalizada es
x(2) = ±0.d1d2d3...dkdk+1dk+2... ∗ 2±n
en donde se cumple que d1 ≠ 0 y para todo i > 1 se cumple que di = 0 o di = 1. Dado que d1 ≠ 0, el 0 no se puede representar en notación de punto flotante.
Supongamos, sin pérdida de generalidad, que una variable real (float) se almacena en un computador utilizando 32 bits (4 bytes). Recordemos que un bit se representa por 0 o 1. En nuestro supuesto computador, la distribución de los 32 bits se realiza del siguiente modo,15 (Figura 5):
• 1 bit para el signo de la mantisa.
• 1 bit para el signo del exponente.
• 7 bits para el exponente.
• 24 bits para la mantisa. El primer bit siempre es 1 y no se almacena físicamente (es un bit lógico). Los restantes 23 se almacenan.
Llamaremos a los números reales que se almacenan en un computador números máquina, para dar a entender que tienen una estructura similar a ésta.
Figura 5. Esquema de almacenamiento de un número real
Es importante aclarar que no necesariamente el método de almacenamiento que hemos planteado es la forma que utilizan los computadores actuales; lo que presentamos es más bien un estructura general y simple de la misma, es decir, un esquema conceptual básico para representar el almacenamiento de un número real en un computador. A pesar de que existen diferentes técnicas y posibilidades, todas ellas poseen unas características comunes: el exponente y la mantisa se almacenan con una cantidad finita de dígitos. Ésta es la estructura que suponemos para nuestros análisis y conclusiones. Para conocer los valores exactos de estos límites y características, recomendamos consultar el manual del lenguaje de programación o herramienta de cálculo que utilicemos. Veamos algunas consecuencias de la estructura elegida.
2.6.1 Números máquina máximos y mínimos
Existe una capacidad limitada para almacenar los números reales. Al ocuparla completamente se obtienen los números máximos y mínimos –tanto en sentido positivo como negativo– que pueden ser almacenados en el computador. Supongamos que positivo se representa como 1 y negativo como 0. El siguiente número representa el valor máximo positivo que puede almacenar un computador de 32 bits:
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que el mayor valor del número almacenado se relaciona únicamente con el mayor valor del exponente: 1111111(2) = 2127 ≈ 1038. Es decir, en nuestro computador virtual, el mayor valor almacenado es del orden 1038. Tal como se observa en la Figura 6, hay una cantidad infinita de números reales que no pueden ser almacenados en el computador. Existe un número máximo, 1038, a partir del cual cualquier otro número mayor que él no se puede almacenar en la máquina. Del mismo modo, todos los números menores que −1038 no se pueden almacenar. El número −1038 es el menor valor que puede almacenar nuestro computador de 32 bits. Todos los números que estén por fuera del intervalo definido por estos dos números no pueden ser almacenados, y aparece un error de desbordamiento16 llamado overflow. Por otro lado, todos los números positivos menores que 10−38 y todos los números negativos mayores que −10−38 tampoco se almacenan en nuestro computador, y en la mayoría de los casos son aproximados a 0 por el computador. Este problema de desbordamiento se conoce como el underflow.
Figura 6. Límites de almacenamiento en la recta real
2.6.2 Densidad de los números reales
Al disponer de una cantidad finita de dígitos para almacenar los datos, un número máquina tiene un consecutivo. Entre dos números reales consecutivos no existen números reales. Pero la propiedad de la densidad de los números reales establece que entre dos números reales siempre existen números reales. Si x = 0.d1d2...d24 ∗ 2n, entonces existe un número en nuestro computador de 32 bits que es el siguiente a él, xs = 0.d1d2...(d24 + 1) ∗ 2n, que cumple la propiedad de que
xs − x = 2n−24
y que todos los números reales que pertenecen al intervalo [x, xs], son representados por x o xs según la forma de redondeo. El número máquina escogido por el método es el que representa a los números reales infinitos que pertenecen al intervalo [x, xs].
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