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El descuento racional
Es aquel que se calcula sobre el valor presente del documento (que denominaremos V, y que es el análogo del capital inicial en el interés simple, C0).
En el descuento racional, los intereses se calculan sobre el capital recibido, por n períodos:
Dr = Vrin
El valor recibido es igual al monto del documento menos el descuento:
Vr = Cn − Dr
Y como Cn = Vr + Dr
Entonces Cn = Vr + Vrin
Si llamamos Vr al valor presente con descuento racional, tenemos:
Observe que la fórmula del valor presente con descuento racional es exactamente igual a la fórmula del capital inicial en el interés simple.
Ejemplo 1: calcule el valor presente de un documento de 100 €, que vence dentro de dos meses, utilizando una tasa de interés vencida del 10 % mensual:
Ejemplo 2: calcule el descuento que sufrió el documento del ejemplo anterior.
Dr = 83,33 × 0,10 × 2 = 16,67
Como se observa, en el descuento racional, para calcular el descuento debe calcularse previamente el valor presente del documento.
Evolución del descuento racional
Si observa la siguiente tabla verá cómo la función del descuento periódico es decreciente:
Tabla 2.6 Evolución del descuento racional
| Período | Valor presente | Descuento periódico |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1/(1+i) | 1-1/(1+i) = i/(1+i) |
| 2 | 1/(1+i2) | 1-1/(1+i2) = i2/(1+i2) |
| 3 | 1/(1+i3) | 1-1/(1+i3) = i3/(1+i3) |
| 4 | 1/(1+i4) | 1-1/(1+i4) = i4/(1+i4) |
| . | . | . |
| ∞ | 0 | 1 |
Fórmulas derivadas del descuento racional
Las fórmulas son exactamente las mismas que vimos para el monto a interés simple y sus fórmulas derivadas. Recuerde que en el descuento racional los intereses se calculan sobre el capital recibido en préstamo, de ahí el nombre de «racional».
Tabla 2.7 Fórmulas del descuento racional
| Valor actual | Tasa de interés | Número de períodos | Descuento acumulado |
 |  |  | D(0,n) = Vrin |
El descuento comercial y la tasa «anticipada» o «adelantada»
Cuando los intereses se liquidan o calculan a partir de un monto futuro, las tasas utilizadas se denominan adelantadas o de descuento. A este tipo de operatoria se la denomina «descuento comercial» o «descuento bancario», y es la más utilizada en la práctica de los negocios.
Como el descuento se practica sobre un valor final o monto (el valor final es el valor nominal del documento, sea este un pagaré, un cheque, etc.) y no sobre el capital que realmente se presta en la operación, resulta un beneficio adicional para el prestamista, como veremos a continuación.
Ejemplo: se tiene un documento de 1 € que vence dentro de 1 mes,3 pero se decide descontarlo en una entidad financiera, para disponer de efectivo inmediatamente. El descuento es del 20 % mensual, de forma que se reciben 80 céntimos:
Figura 2.4 Valor presente con descuento comercial.
En el descuento comercial, los intereses se calculan sobre el valor nominal del documento, que es asimilable a un capital futuro o monto (Cn):
D = Cndn
De forma tal que el valor presente del documento es igual al valor nominal menos el descuento:
V = Cn − Cndn
V = Cn(1 − dn)
En nuestro ejemplo, el valor presente recibido es:
V = 1 − 0,20 × 1 = 0,80
Observe que el descuento se practica, a diferencia del descuento racional, sobre un valor futuro (el valor nominal del documento, que es el valor que tendrá el documento dentro de un mes), pero se recibe en préstamo una suma menor (0,80). Por lo tanto, el prestamista gana un rendimiento que es igual al descuento (d) sobre la cantidad que efectivamente presta (1-d):
¿Cuál es el rendimiento que obtuvo el prestamista si cobró el 20 % de interés sobre un capital de 1 € y en realidad solo prestó 0,80? Obviamente, es mayor que el 20 %, pues si colocáramos el dinero obtenido en préstamo al 20 % apenas alcanzaríamos 96 céntimos:
0,80 × (1 + 0,20) = 0,96
La tasa de interés implícita o equivalente en la operación anterior puede despejarse fácilmente razonando cuál es la tasa de interés vencida a la que tendríamos que colocar el capital obtenido en préstamo (1 – d), para reconstruir el euro que dio origen a la operación:
(1 − d)(1 + i) = 1
0,80(1 + i) = 1
Donde la tasa de interés vencida i resulta ser del 25 %, resultado al que también llegamos razonando el rendimiento que tuvo el prestamista:
Este tipo de descuento tiene una característica distintiva: la tasa que se utiliza en la operación es una tasa de descuento o adelantada, ya que se calcula sobre el valor que el documento tendrá en el futuro. A esta tasa de descuento le corresponda una tasa equivalente i vencida, que en nuestro ejemplo resulta ser del 25 %. Por lo tanto, el verdadero coste efectivo de la operación de descuento siempre hay que medirlo en términos de tasa de interés vencida.
Hay numerosos casos en la vida real donde aparecen operaciones que tácitamente involucran una tasa de descuento. Por ejemplo, los bienes que se venden con un precio de lista (que puede abonarse con tarjeta de crédito) o con un descuento por pago al contado. Suponga que un bien puede adquirirse según las siguientes condiciones:
Precio lista: 100 Precio al contado: 10 % de descuento
El precio de lista puede abonarse con tarjeta, y tenemos la opción de abonarlo al contado con un descuento. Supongamos que el resumen de la tarjeta habría que pagarlo dentro de 30 días. Pero la pregunta que debemos hacernos es: ¿cuál es el interés mensual que terminamos pagando si no aprovechamos el 10 % de descuento? Podemos despejar el coste de financiar la compra con tarjeta con la fórmula para despejar la tasa vencida a partir de la tasa de descuento:
Si hubiéramos abonado la compra al contado, habríamos desembolsado 90 € (100 menos un diez por ciento). Es fácil ver que de 90 a 100 hay un 11,11 %, teniendo en cuenta que al perder el descuento, terminamos abonando 100 dentro de un mes y esto implica un coste del 11,11 %. Es posible establecer una relación de equivalencias entre tasas de descuento y tasas de interés vencidas, como se observa en la tabla 2.8:
Tabla 2.8 Equivalencia entre tasas vencidas y de descuento
| d | i |
| 10,0 % | 11,1 % |
| 20,0 % | 25,0 % |
| 30,0 % | 42,9 % |
| 40,0 % | 66,7 % |
| 50,0 % | 100,0 % |
| 60,0 % | 150,0 % |
| 70,0 % | 233,3 % |
| 80,0 % | 400,0 % |
| 90,0 % | 900,0 % |
Obsérvese cómo la diferencia entre ambas tasas aumenta a medida que aumenta el valor nominal de la tasa de descuento. Por ejemplo, para un 50 % de descuento habría que colocar el dinero al 100 % para reconstituir el capital que dio origen a la operación.
La operación de descuento en la vida real: la tasa de descuento nominal
En la práctica, el descuento de documentos se pacta generalmente con una tasa nominal anual de descuento, que llamaremos f(m), y se proporciona para la cantidad de días hasta el vencimiento del documento. De la proporción de la tasa nominal de descuento surge una tasa de descuento efectiva d para el plazo de la operación.
Ejemplo: se descuenta un documento en un banco cuando faltan 35 días para su vencimiento, pactándose una tasa nominal anual de descuento del 90 %. El descuento de la operación es:
Y el valor recibido:
Por supuesto, la tasa nominal de descuento del 90 % implicaba una tasa efectiva de descuento para 35 días de 8,63 %:
En el Capítulo 4, ahondaremos en las relaciones entre las distintas tasas, y veremos cómo es posible obtener una tasa efectiva de interés a partir de una nominal de descuento o una tasa efectiva de descuento a partir de una nominal de interés, y así sucesivamente.4
Descuento comercial y racional: dos medidas diferentes de una misma operación
En realidad, el descuento comercial y el descuento racional son dos medidas diferentes de una misma operación. Cuando en el ejemplo anterior se descontaba una suma de 1 € por un período y se recibían 0,80 €; los 20 centavos de diferencia representaban el descuento de la operación.
Si el análisis se efectúa a partir del capital inicial de 80 € que se obtenían en préstamo, el interés abonado es del 25 % y podía considerarse que los intereses eran abonados por período vencido, como supone el descuento racional (es como si analizáramos la operación desde abajo hacia arriba).
Si la operación se analiza «desde arriba», es decir, desde el valor final de 1 € y no desde el valor presente, hay un descuento de 0,20 y representaba un interés cobrado al principio de la operación, resultando una tasa de descuento o adelantada del 20 %:
Matemáticamente, resulta fácil demostrar que el descuento racional y el comercial son lo mismo, si sustituimos en la fórmula del descuento comercial el valor de Cn:
D = Cndn
Y como V = Cn(1 − dn), entonces 
Sustituyendo Cn en la expresión del descuento comercial acumulado, queda:
Observe que esta última expresión es igual a la expresión del descuento racional, ya que d / (1 – dn) = i, entonces quedaría D = Vrin , que es igual a la expresión del descuento total para el descuento racional. También puede observarse la equivalencia si reemplazamos Vr en la fórmula del descuento racional:
Como i / (1 + in) = d, entonces D = Cndn, que es igual a la expresión del descuento total para el descuento comercial.
Cuadro de evolución del descuento comercial
Prescindiremos ahora de la notación simbólica para mostrar una relación importante. Observe en la tabla 2.9 que el valor presente del documento es igual a cero al final del quinto período:
Tabla 2.9 Evolución del valor presente en el descuento comercial
| Período | Capital al inicio | Descuento periódico | Valor presente |
| 1 | 1,00 | 0,20 | 0,80 |
| 2 | 0,80 | 0,20 | 0,60 |
| 3 | 0,60 | 0,20 | 0,40 |
| 4 | 0,40 | 0,20 | 0,20 |
| 5 | 0,20 | 0,20 | 0,00 |
Como en el régimen simple de descuento, este se calcula siempre sobre el valor final de la operación, el descuento periódico es constante. Las relaciones más importantes se analizan en la siguiente sección, para tratar luego el tiempo que tarda el descuento en anular el valor del documento.
Fórmulas derivadas del descuento comercial
A continuación, se muestran las fórmulas utilizadas en las operaciones de descuento comercial, haciendo la salvedad de que d es una tasa efectiva. En los casos en los que las operaciones se pactan con una tasa nominal de descuento, esta debe ser proporcionada para el período de la operación.
Tabla 2.10 Fórmulas del descuento comercial
| Valor actual | Tasa de descuento | Número de períodos | Descuento acumulado |
| V = Cn(1 − dn) |  |  | D(0,n) = Cndn |
Análisis del descuento comercial
Como los intereses descontados siempre se calculan sobre el mismo valor nominal (o capital final), los descuentos periódicos practicados son siempre iguales (si es que no se modifica la tasa de descuento utilizada). Por lo tanto, los descuentos acumulados serían:
a. Descuentos acumulados
D(0,n) = D(0,1) + D(1,2) + D(2,3) + ... + D(n−1,n) = Cndn
Por lo tanto, D(0,n) = Cn − V = Cn − (Cn − Cn × d × n) = Cn × d × n
D(0,n) = Cn − V = Cn − (Cn − Cndn) = Cndn
De manera que el descuento acumulado es igual a n veces el descuento periódico.
b. Intensidad periódica del descuento o descuento efectivo: el descuento efectivo es creciente, ya que si bien el descuento periódico es constante, la proporción en relación con el valor presente aumenta en cada período:
Al aumentar el número de períodos p, el denominador es menor y, en consecuencia, el resultado es cada vez mayor.
El valor presente en el descuento comercial aparece representado en la figura 2.5. Es una función lineal de la forma y = -ax + b válida en el intervalo comprendido entre n = 0 y n = 1 / d; corta a los ejes en los puntos (0,1) y (1 / d,0) y tiene un coeficiente angular igual a (-d), donde d representa la pendiente de la función, que es decreciente, ya que a medida que descontamos el valor nominal por un período mayor, el valor presente desciende. La función descuento se observa en la figura 2.6 y también es una función lineal, pero creciente desde n = 0 y teniendo por techo el valor nominal cuando n = 1 / d (no puede descontarse más que el capital total que dio origen a la operación).
Figura 2.5 Valor presente con descuento comercial.
Figura 2.6 Descuento acumulado en el descuento comercial.
Tiempo que tarda el descuento en anular un capital o documento
En teoría, como pudo observarse en el cuadro de evolución, el descuento comercial puede llegar a hacerse igual o superior al valor del capital descontado. En el primer caso, supondría un valor presente nulo y en el segundo se obtendría un absurdo matemático, ya que el valor presente del documento sería negativo.5
El tiempo en que un capital se anula es igual a la inversa (recíproco) de la tasa de descuento:6 para obtener el número de períodos que anula el valor del documento, simplemente igualamos a 0 (cero) el valor presente:
Si 1 – dn = 0, despejando el número de períodos tenemos 
El descuento comercial podría ser tachado de irracional por el caso extremo mencionado, pero si recordamos que en la práctica su uso se limita a plazos cortos, dicha circunstancia no se presenta.
Acerca de la controversia entre «descuento» y «actualización»
La noción del valor presente representa una de las ideas más importantes en finanzas y tiene una multiplicidad de aplicaciones. En algunos textos latinoamericanos al valor presente a veces se lo llama «valor actual». Por otra parte, en finanzas es común hablar de «tasa de descuento» para calcular un valor presente utilizando una tasa de interés vencida en el cálculo. La denominación tasa de descuento es una traducción de la expresión en inglés discount rate y ha generado cierta confusión cuando se habla de tasa de descuento comercial o anticipada o adelantada.
¿Es correcto hablar de descuento o de actualización? Si nos atenemos a la definición del verbo «actualizar» de la Real Academia Española, en su vigésima segunda edición define «actualizar» como:
1. tr. Hacer actual algo, darle actualidad. U. t. c. prnl.
2. tr. Poner al día.
3. tr. Poner en acto, realizar.
4. tr. Ling. Hacer que los elementos lingüísticos abstractos o virtuales se conviertan en concretos e individuales, constituyendo mensajes inteligibles.
Por lo tanto, si tenemos en cuenta lo que dice la RAE en el punto 2, es más apropiado hablar de valor presente, pues en realidad actualizar significa «poner al día», que es un proceso que remite del pasado al presente, y no del futuro al presente como es el caso que tratamos.
Preguntas de autoevaluación
1. ¿Por qué la operación de descuento comercial involucra una tasa de interés implícita?
2. ¿Por qué decimos que en el régimen simple las tasas de interés son siempre nominales?
3. ¿Cuánto tiempo tarda el descuento en anular el valor de un documento?
2.4 Equivalencia de capitales en el régimen simple y reemplazo de pagos
Se dice que dos capitales son equivalentes en una fecha dada cuando a la misma tasa, tienen igual valor presente. Este es un principio matemático de amplio uso en las finanzas y dicha equivalencia puede ser calculada tanto con el descuento comercial como con el racional.
Vamos ahora a extender este principio para el caso del reemplazo de pagos. Cuando por alguna circunstancia un deudor no puede cumplir con una serie de pagos que estaban destinados a cancelar una deuda, es posible la refinanciación de la misma a través del vencimiento común o el vencimiento medio.
Vencimiento común
Se habla de vencimiento común cuando se reemplaza un conjunto de documentos por uno nuevo (cuyo valor es diferente a la suma de los documentos anteriores) y se establece un nuevo plazo de vencimiento (este plazo de vencimiento, es «común» para todos los documentos reemplazados). Entonces, se trata de reemplazar a varios capitales C1, C2... Cn, por un solo capital Ct con vencimiento en un período determinado t.
Recordemos que para que el nuevo pago que va a reemplazar a los anteriores sea equivalente desde el punto de vista financiero, el valor presente del nuevo pago (V) siempre debe ser igual al valor presente de los anteriores pagos. Suponiendo que el documento nuevo quiere reemplazar a otros dos cuyos vencimientos operaban dentro de uno y diez meses respectivamente, la expresión del valor presente del nuevo documento según el descuento racional sería:
En el vencimiento común, las incógnitas pueden ser dos: si predefinimos el plazo de vencimiento, la incógnita es el valor del nuevo documento; si predefinimos este último, la incógnita es el plazo de vencimiento.
Una vez obtenido el valor presente del nuevo pago (V), se calcula el valor nominal del nuevo documento (o capital final) utilizando simplemente la fórmula del interés simple. Si el nuevo documento se firmara con un vencimiento de dentro de 12 meses, su valor sería:
Ct = V (1 + i × 12)
Ejemplo: se ha documentado una deuda en 2 pagos a los 6 y 8 meses de plazo, por importes de 1.000 € y de 10.000 € respectivamente. De común acuerdo, deudor y acreedor deciden reemplazar esos dos pagos por uno solo, para hacer efectivo dentro de 10 meses. ¿Cómo determinar el valor de ese nuevo pago dentro de 10 meses, sabiendo que el valor de la tasa de interés vencida es del 2 % mensual? Resolveremos analizando por descuento comercial y racional, de acuerdo con las equivalencias que fueron tratadas anteriormente.
a. Por descuento racional
El primer paso es calcular el valor presente de los dos documentos, para obtener el valor presente del nuevo documento, que se firmará con un vencimiento a diez meses:
Luego se calcula el valor nominal del nuevo documento mediante la fórmula del monto a interés simple, para diez períodos:
C10 = 9.513,55 (1 + 0,02 × 10) = 11.416,25
El nuevo documento, firmado con vencimiento dentro de diez meses por un valor de 11.416,25 €, es equivalente a los dos documentos por 1.000 y 10.000 euros, que vencían dentro de 6 y 8 meses, respectivamente.
Un punto muy importante que debe remarcarse es que en el régimen simple siempre debe calcularse primero el valor presente del documento, para después calcular su equivalente en otra fecha futura. Por ejemplo, el documento de 1.000 € que vencía a los 6 meses tiene un valor presente de 892,85; la diferencia de 107,15 son los intereses entre el momento 0 y el mes 6; si capitalizáramos el valor nominal del documento (1.000) para llevarlo directamente a la fecha futura donde vencerá el nuevo documento, esto sería incorrecto, puesto que se estaría capitalizando los intereses y se transformaría la operación en una de interés compuesto.
b. Por descuento comercial
Si la tasa de interés vencida es del 2 % mensual, la tasa de descuento equivalente es influida por el número de períodos, según vimos antes en este mismo capítulo, donde la obteníamos a partir de la siguiente expresión:
Para el primer documento, la d equivalente para 6 meses es 
Y para el segundo documento la d equivalente para 8 meses es 
Luego, resolvemos el valor presente de ambos documentos:
V = V1 + V2
V = 1.000 (1 – 0,01785 × 6) + 10.000 (1 – 0,01724 × 8) = 9.513,55
Que es el mismo valor obtenido a través de la fórmula del valor presente con descuento racional que vimos anteriormente. El valor nominal del nuevo documento también se calcula igual que antes, mediante la fórmula del monto a interés simple, para diez períodos:
C10 = 9.513,55 (1 + 0,02 × 10) = 11.416,25
